Mikko Heino

Luvut ja yhtälöt (MAY1)

Laajuus

2 op

Yleiset tavoitteet (LOPS 2021)

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija

kertaa prosenttilaskennan periaatteet
osaa käyttää verrannollisuutta ongelmanratkaisussa
syventää murtolukujen laskutoimitusten osaamistaan
kertaa potenssin laskusäännöt
vahvistaa ymmärrystään funktion käsitteestä
ymmärtää yhtälön ja yhtälöparin ratkaisemisen periaatteet
oppii käyttämään ohjelmistoja funktion kuvaajan piirtämisessä, havainnoinnissa ja yhtälöiden ratkaisemisessa.

Keskeiset sisällöt (LOPS 2021)

lukujoukot ja peruslaskutoimitukset
luvun vastaluku, käänteisluku ja itseisarvo
prosenttilaskenta
potenssin laskusäännöt (eksponenttina kokonaisluku)
suoraan ja kääntäen verrannollisuus
funktio, kuvaajan piirto ja kuvaajan tulkinta
ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen
yhtälöpari
neliö- ja kuutiojuuri
potenssifunktio ja potenssiyhtälö (asteluvut 2 ja 3)

Aikataulu

Jaksosuunnitelma MAY1.A, lv. 2025-2026

Jaksosuunnitelma MAY1.D, lv. 2025-2026

Suoritus

riittävä läsnäolo
lähtötasotesti
tehtävien tekeminen
viikkotehtävät (4 kpl)
loppukoe

Arviointi

viikkotehtävät (3 parasta), painoarvo päättöarvosanasta 25 %
loppukoe, painoarvo päättöarvosanasta 75 %
viikkotehtävissä ja loppukokeessa 30 % arviointi

Keskeyttäminen

Opettaja keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos

opiskelija niin pyytää
opiskelija ei ole läsnä opintojakson kahdella ensimmäisellä opetuskerralla ja opiskelija ei ole yhteydessä opettajaan eikä opettaja saa yhteyttä opiskelijaan.

Opettaja voi keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos opiskelijalla on neljä poissaoloa. Tällaiset tilanteet opettaja käy läpi tapauskohtaisesti ja on ennen lopullista keskeytystä yhteydessä opiskelijaan.

Keskeyttämisestä opettaja merkitsee opintojaksosta opiskelijalle K-merkinnän Wilmaan ja poistaa opiskelijan sen jälkeen Wilman ryhmästä. Opettaja lähettää keskeyttämisestä viestin opiskelijalle, alaikäisen opiskelijan huoltajalle, ryhmänohjaajalle ja opolle.

Sivun alkuun.

1 LUVUT JA LASKUTOIMITUKSET

1.1 Lukujoukot

Luonnolliset luvut

$$ \mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, ... \} $$

Luonnollisilla luvuilla voidaan ilmoittaa lukumääriä.

Kun luonnollisten lukujen joukkoa laajennetaan positiivisten kokonaislukujen vastaluvuilla eli negatiivisilla kokonaisluvuilla, saadaan kokonaislukujen joukko.

Kokonaisluvut

$$\mathbb{Z}=\{... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}$$

Kokonaislukuja kuvaavat lukusuoralla tasavälein (yhden yksikön välein) esiintyvät viivat.

Lukusuoran yhden yksikön mittaiset välit voidaan jakaa tasaosiin eri tavoin. Näin syntyvien lukujen joukkoa kutsutaan rationaaliluvuiksi.

Rationaaliluvut

$$\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n} \mid m, n\in\mathbb{Z},\ n\neq0\right\}$$

Rationaalilukuja ovat luvut, jotka voidaan esittää murtolukumuodossa. Desimaalimuodossa tällaiset luvut ovat päättyviä tai päättymättömiä, jaksollisia desimaalilukuja.

Esim. 1

$-5=-\frac{5}{1}$; $3{,}2=3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}$ ja $0{,}333\ldots=\frac{1}{3}$ ovat rationaalilukuja.

Lukuja, joita ei voida esittää murtolukumuodossa, kutsutaan irrationaaliluvuiksi.

Reaaliluvut

Reaalilukujen joukon $\mathbb{R}$ muodostavat rationaali- ja irrationaaliluvut yhdessä.

Irrationaaliluvut ovat desimaalimuodossa päättymättömiä ja jaksottomia eli desimaaliosassa ei toistu jokin sama numerosarja säännöllisesti.

Esim. 2

$\sqrt{2}\approx1{,}41$ ja $\pi\approx3{,}14$ ovat irrationaalilukuja.

Kappaleen alkuun.

1.2 Lukusuora

Lukusuoran jatkuva viiva kuvaa kaikkia mahdollisia reaalilukuja. Lukusuora on samalla lukujen suuruusjärjestys.

Luvun itseisarvo kuvaa luvun etäisyyttä nollasta lukusuoralla. Luvun $a$ itseisarvo merkitään $|a|=a$ ja luvun $-a$ itseisarvo $|-a|=a$.

Luvun itseisarvo on aina positiivinen luku (etäisyys ei voi olla negatiivinen).

Vastaluvut sijaitsevat lukusuoralla nollan vastakkaisilla puolilla yhtä kaukana nollasta. Vastaluvuilla on siis sama itseisarvo.

Luvun $a$ vastaluku merkitään $-a$. Luvun $-a$ vastalukua voidaan merkitä $-(-a)=a$.

Kappaleen alkuun.

1.3 Reaalilukujen laskulait

Reaaliluvuilla pätevät seuraavat laskulait. Näitä lakeja kutsutaan aksioomiksi. Matematiikassa aksiooma tarkoittaa perustavanlaatuista lainalaisuutta, jota ei voida perustella muilla säännöillä tai johtaa muista säännöistä.

Reaalilukujen laskulait (kunta-aksioomat)

Olkoot $a$, $b$ ja $c$ reaalilukuja.

(1) Yhteenlaskun vaihdantalaki $$a+b=b+a.$$

(2) Kertolaskun vaihdantalaki $$ab=ba.$$

(3) Yhteenlaskun liitäntälaki $$a+(b+c)=(a+b)+c.$$

(4) Kertolaskun liitäntälaki $$a(bc)=(ab)c.$$

(5) Osittelulaki $$a(b+c)=ab+ac.$$

(6) Nolla

Nolla on luku, jolle pätee $a+0=a$. Toisin sanoen nollan lisääminen ei muuta lukua.

(7) Ykkönen

Ykkönen on luku, jolle pätee $1\cdot a=a$. Toisin sanoen ykkösellä kertominen ei muuta lukua.

(8) Vastaluku

Luvulla $a$ on vastaluku $-a$. Vastalukujen summa on 0: $$a+(-a)=a-a=0.$$

(9) Käänteisluku

Luvulla $a$ on käänteisluku $\frac{1}{a}$. Käänteislukujen tulo on 1: $$a\cdot\frac{1}{a}=1.$$

Voidaan myös sanoa, että luvut joiden tulo on 1, ovat toistensa käänteislukuja.

Kappaleen alkuun.

1.4 Luvuilla laskeminen

Merkkisääntö

$$++\quad\rightarrow \quad+$$ $$--\quad\rightarrow \quad+$$

$$+-\quad\rightarrow \quad-$$

$$-+\quad\rightarrow \quad-$$

Esim. 1

a) $-4+(-6)=-4-6=-10$

b) $5-(-3)=5+3=8$

Yhteen- ja vähennyslaskussa sulkeet poistetaan ja kahdesta peräkkäisestä laskutoimitusmerkistä päätellään merkkisäännön mukaisesti voimaan jäävä merkki.

Esim. 2

a) $5\cdot(-3)=-15$

b) $-4\cdot(-6)=24$

Kertolaskussa, jos tulontekijät ovat samanmerkkiset, tulo on positiivinen, ja jos tulontekijät ovat erimerkkiset, tulo on negatiivinen. Jakolaskussa osamäärän merkki päätellään vastaavasti jaettavan ja jakajan etumerkeistä.

Yhdistettyjä laskutoimituksia

Jotta tietäisimme, missä järjestyksessä useita laskutoimituksia sisältävät laskut tulee suorittaa, on sovittu laskujärjestyksestä.

Laskujärjestyssopimus

Sulkeet
Potenssit ja neliöjuuret
Kerto- ja jakolaskut
Yhteen- ja vähennyslaskut

Esim. 1

$4+(5-2)^2\cdot7$

$=4+3^2\cdot7$

$=4+9\cdot7$

$=4+63$

$=67$

Esim. 2

$\sqrt{9+16}$

$=\sqrt{25}$

$=5$

Juurimerkin alla olevat laskutoimitukset suoritetaan ennen juuren ottamista.

Esim. 3

$\displaystyle{\frac{4\cdot(-5)}{-9+7}}$

$=\displaystyle{\frac{-20}{-2}}$

$=10$

Jakoviivan ylä- ja alapuolella olevat laskutoimitukset suoritetaan ennen jakoviivalla merkityn jakolaskun laskemista.

Huom.

Aksioomat ovat matemaattisesti vahvempia sääntöjä kuin laskujärjestyssopimus. Joissain tilanteissa voidaankin laskujärjestyksestä poiketa ja käyttää aksioomia tehtävän ratkaisemiseen.

Esim. 4

$4\cdot(250+0{,}25)$

$=4\cdot250+4\cdot0{,}25$

$=1000+1$

$=1001$

Itseisarvoilla laskeminen

Itseisarvoilla laskettaessa itseisarvomerkkien sisällä olevat laskutoimitukset lasketaan ennen itseisarvon ottamista ja itseisarvomerkkien ulkopuolella olevat laskutoimitukset lasketaan vasta itseisarvon ottamisen jälkeen.

Esim. 1

$|3-1|+|1-3|$

$=|2|+|-2|$

$=2+2$

$=4$

Kappaleen alkuun.

1.5 Murtoluvut

Samannimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Esim. 1

$$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}$$

Samannimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa osoittajat yhdistetään.

Esim. 2

$$\frac{5}{8}-\frac{1}{8}=\frac{4}{8}^{(4} =\frac{1}{2}$$

Vastaukset supistetaan yksinkertaisimpaan muotoon. Supistamisessa osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla.

Esim. 3

$$\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}^{(2}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$$

Jos osoittaja on suurempi kuin nimittäjä, voidaan vastaus muuttaa sekaluvuksi.

Esim. 4

$$4\frac{2}{5}+2\frac{1}{5}=6\frac{3}{5}$$

Sekalukuja, joiden murto-osat ovat samannimisiä, voidaan laskea yhteen ja vähentään yhdistämällä kokonaisosat ja murto-osat erikseen. Tämä on helpoin tapa, kun laskussa ei tapahdu kokonaisten ylitystä.

Esim. 5

$$2\frac{1}{3}-1\frac{2}{3}=\frac{7}{3}-\frac{5}{3}=\frac{2}{3}$$

$2\frac{1}{3}=\frac{2\ \cdot\ 3\ +\ 1}{3}=\frac{7}{3}$ ja

$1\frac{2}{3}=\frac{1\ \cdot\ 3\ +\ 2}{3}=\frac{5}{3}$

Jos tapahtuu kokonaisten ylitys, etenkin vähennyslaskuissa on helpointa muuttaa sekaluvut murtoluvuiksi ennen laskemista.

Erinimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Esim. 1

$${ ^{2)}\atop }\frac{3}{5}+\frac{1}{10}=\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}$$

Erinimiset murtoluvut on lavennettava (tai joskus supistettava) samannimisiksi ennen yhteen- ja vähennyslaskua.

Esim. 2

$${ ^{3)}\atop }\frac{1}{2}-{ ^{2)}\atop }\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$$

Usein laventaminen samannimisiksi onnistuu ristiin laventamalla eli laventamalla toista murtolukua ensimmäisen nimittäjällä ja ensimmäistä toisen nimittäjällä.

Esim. 3

$${ ^{5)}\atop }-\frac{1}{4}+{ ^{4)}\atop }\frac{1}{5}=-\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{-5+4}{20}=-\frac{1}{20}$$

Negatiivisilla murtoluvuilla yhteen- ja vähennyslaskuja laskettaessa etumerkit huomioidaan osoittajassa.

Murtolukujen kertolasku

Esim. 1

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1\cdot1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}$$

Murtolukujen kertolaskussa osoittajat kerrotaan keskenään ja nimittäjät kerrotaan keskenään.

Esim. 2

$$3\cdot\frac{2}{7}=\frac{3}{1}\cdot\frac{2}{7}=\frac{3\cdot2}{1\cdot7}=\frac{3\cdot2}{7}=\frac{6}{7}$$

Muuta kokonaisluvut murtoluvuiksi ennen kertomista. Toisaalta, kuten yltä näkyy, näin päädytään tilanteeseen, joka on todennäköisesti alakoulussa esitetty laskusääntönä: Kokonaisluku ja murtoluvun osoittaja kerrotaan keskenään.

Esim. 3

$$\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)=-\frac{2\cdot3}{5\cdot8}=-\frac{6}{40}^{(2}=-\frac{3}{20}$$

Päättele etumerkki ensin.

Esim. 4

Tapa 1: Vastauksen supistaminen

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=\frac{24}{36}^{(12}=\frac{2}{3}$$

Tapa 2: Tulon supistaminen

$$\frac{\overset{1}{\cancel3}}{\underset{1}{\bcancel4}}\cdot\frac{\overset{2}{\bcancel8}}{\underset{3}{\cancel{9}}}=\frac{2}{3}$$

Murtolukujen jakolasku

Ennen kuin opiskellaan murtolukujen jakolasku, kerrataan käänteisluku.

Esim. 1

$$ \begin{array}{rcl} \mathrm{Luku}&\rightarrow&\mathrm{Käänteisluku} \\ \frac{2}{3}&\rightarrow&\frac{3}{2} \\ \frac{1}{4}&\rightarrow&\frac{4}{1}=4 \\ 3=\frac{3}{1}&\rightarrow&\frac{1}{3} \\ 2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}&\rightarrow&\frac{3}{7} \\ 0{,}7=\frac{7}{10}&\rightarrow&\frac{10}{7} \end{array} $$

Esim. 2

Mikä on luvun $0{,}4$ käänteisluku?

Ratkaisu:

Käänteislukujen tulo on 1.

Merkitään kysyttyä käänteislukua tuntemattomalla $x$. Tällöin $$0{,}4\cdot x=1 \iff x=\frac{1}{0{,}4}=2{,}5\mathrm{.}$$

Murtolukujen jakolasku

Murtolukujen jakolasku suoritetaan siten, että jaettava kerrotaan jakajan kääteisluvulla.

Esim. 3

$$\frac{2}{3}:\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$$

Jakolasku muutetaan kertolaskuksi ja jakaja käänteisluvuksi.

Esim. 4

$$\frac{2}{5}:3=\frac{2}{5}:\frac{3}{1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{5\cdot3}=\frac{2}{15}$$

Kun murtoluku jaetaan kokonaisluvulla, on kokonaisluku muutettava ensin murtoluvuksi. Kuten yllä näkyy, päädytään lopulta tilanteeseen, joka on yläkoulussa saatettu esittää laskusääntönä: Jaettavan nimittäjä kerrotaan kokonaisluvulla.

Kappaleen alkuun.

2 YHTÄLÖT

2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö

Kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi, saadaan yhtälö.

$$ \underbrace{3x+4}_\text{vasen puoli} = \underbrace{5x}_\text{oikea puoli} $$

Ensimmäisen asteen yhtälössä tuntemattoman $x$ korkein asteluku (eli eksponentti) on $1$.

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa tuntemattoman $x$ paikalle sopivaa lukua, jolla yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuria.

Esim. 1. Ratkaisun tutkiminen.

Tutki, onko $x=2$ yhtälön $3x+4=5x$ ratkaisu.

Ratkaisu:

$$ \begin{array}{rcll} 3x+4&=&5x &\quad||\ x=2\\ 3\cdot 2+4&=&5 \cdot 2& \\ 6+4&=&10 &\\ 10&=&10 &\\ \end{array} $$

Vastaus: $x=2$ on yhtälön ratkaisu.

Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa, että etsitään yhtälön ratkaisu. Ratkaisemisessa seuraavat toimenpiteet ovat sallittuja, koska ne säilyttävät vasemman ja oikean puolen suhteen.

Vasemman ja oikean puolen paikat voidaan vaihtaa.
Vasemmalle ja oikealle puolelle voidaan lisätä sama luku tai kummaltakin puolelta voidaan vähentää sama luku. Tämä voidaan merkitä siirtona yhtäsuuruusmerkin yli siten, että siirrettävän luvun tai termin etumerkki vaihtuu vastakkaiseksi.
Vasen ja oikea puoli voidaan kertoa tai jakaa samalla luvulla.

Esim. 2

Ratkaise yhtälö $5x-2=3x-1$.

Ratkaisu:

$$ \begin{array}{rcll} 5x-2&=&3x-1 &\quad||\ \mathrm{Siirrä.}\\ 5x-3x&=&-1+2 &\quad||\ \mathrm{Yhdistä.}\\ 2x&=&1 &\quad||\ \mathrm{Jaa.}\\ x&=&\frac{1}{2}& \\ \end{array} $$

Tarkistus:

$$ \begin{array}{rcll} 5x-2&=&3x-1 &\quad||\ x=\frac{1}{2}\\ 5 \cdot \frac{1}{2}-2&=&3 \cdot \frac{1}{2}-1 & \\ \frac{5}{2}-2&=&\frac{3}{2}-1 & \\ 2\frac{1}{2}-2&=&1\frac{1}{2}-1& \\ \frac{1}{2}&=&\frac{1}{2}& \end{array} $$

Esim. 3. Sulkeiden poistaminen.

Ratkaise yhtälö $2(x-1)=4-(3x-1)+(x+1)$.

Ratkaisu:

$$ \begin{array}{rcll} 2(x-1)&=&4-(3x-1)+(x+1) &\quad||\ \mathrm{Poista\ sulkeet.}\\ 2x-2&=&4-3x+1+x+1 &\quad||\ \mathrm{Siirrä.}\\ 2x+3x-x&=&4+1+1+2 &\quad||\ \mathrm{Yhdistä.}\\ 4x&=&8 &\quad||\ \mathrm{Jaa.}\\ x&=&\frac{8}{4}=2& \\ \end{array} $$

Esim. 4. Nimittäjien poistaminen.

Ratkaise yhtälö $\frac{x}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$.

Ratkaisu:

Tapa 1: Laventamalla.

$$ \begin{array}{rcll} \frac{x}{3}-\frac{1}{2}&=&\frac{2}{3} &\quad||\ \mathrm{Lavenna\ samannimisiksi.}\\ { ^{2)}\atop }\frac{x}{3}-{ ^{3)}\atop }\frac{1}{2}&=&{ ^{2)}\atop }\frac{2}{3} & \\ \frac{2x}{6}-\frac{3}{6}&=&\frac{4}{6} &\quad||\ \mathrm{Tarkastellaan\ vain\ osoittajia.}\\ 2x-3&=&4 &\quad||\ \mathrm{Siirrä.}\\ 2x&=&4+3 &\quad||\ \mathrm{Yhdistä.}\\ 2x&=&7& \quad||\ \mathrm{Jaa.}\\ x&=&\frac{7}{2} \end{array} $$

Tapa 2: Nimittäjät pois kertomalla.

$$ \begin{array}{rcll} \frac{x}{3}-\frac{1}{2}&=&\frac{2}{3} &\quad||\ \cdot 6\\ \overset{2}{\cancel6}\cdot\frac{x}{\underset{1}{\cancel3}}-\overset{3}{\cancel6}\cdot \frac{1}{\underset{1}{\cancel2}}&=&\overset{2}{\cancel6}\cdot \frac{2}{\underset{1}{\cancel3}} & \\ 2x-3&=&4 &\quad||\ \mathrm{Siirrä.}\\ 2x&=&4+3 &\quad||\ \mathrm{Yhdistä.}\\ 2x&=&7& \quad||\ \mathrm{Jaa.}\\ x&=&\frac{7}{2} \end{array} $$

Kappaleen alkuun.

2.2 Identtinen yhtälö

Ensimmäisen asteen yhtälöllä voi olla täsmälleen yksi ratkaisu, ei yhtään ratkaisua tai ääretön määrä ratkaisuja eli tuntemattoman $x$ paikalle sopii mikä tahansa reaaliluku. Jos yhtälöllä ei ole ratkaisua, sanomme, että yhtälö on identtisesti epätosi. Jos ratkaisuja ovat kaikki reaaliluvut, sanomme, että yhtälö on identtisesti tosi.

Esim. 1

Ratkaise yhtälö $2x+6=2(x+3)$.

Ratkaisu:

$$ \begin{array}{rcl} 2x+6&=&2(x+3) \\ 2x+6&=&2x+6 \\ 2x-2x&=&6-6 \\ 0&=&0 \quad \mathrm{identtisesti\ tosi} \\ \end{array} $$

Vastaus: Yhtälön ratkaisuja ovat kaikki reaaliluvut.

Esim. 2

Ratkaise yhtälö $x+1=x$.

Ratkaisu:

$$ \begin{array}{rcl} x+1&=&x \\ x-x&=&-1 \\ 0&=&-1 \quad \mathrm{identtisesti\ epätosi} \\ \end{array} $$

Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Esim. 3

Millä vakion $a$ arvolla yhtälöllä $ax-3=2x+5$ ei ole ratkaisua?

Ratkaisu:

$$ \begin{array}{rcl} ax-3&=&2x+5 \\ ax-2x&=&5+3 \\ (a-2)x&=&8 \\ x&=&\frac{8}{a-2} \end{array} $$

Lukua $\frac{8}{a-2}$ ei ole määritelty, kun $a-2=0$ (nollalla ei voi jakaa).

$$ \begin{array}{rcl} a-2&=&0 \\ a&=&2 \\ \end{array} $$

Toisaalta jo ratkaisun toisessa vaiheessa nähdään, että yhtälöllä ei ole ratkaisua, jos yhtälö on identtisesti epätosi eli jos yhtälön vasen puoli on $ax-2x=0 \Leftrightarrow a=2$.

Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun $a=2$.

Kappaleen alkuun.

2.3 Yhtälöpari

Yhtälöpari muodostuu kahdesta yhtälöstä. Tunnuksena on vasemmanpuoleinen aaltosulje.

$$ \left\{ \begin{aligned} x+y&=11\\ x-y&=-3\\ \end{aligned} \right. $$

Yhtälöparin ratkaisu on lukupari $ (x,y)$, joka toteuttaa molemmat yhtälöt.

Esim. 1. Ratkaisun tutkiminen.

Tutki, onko lukupari $ (4,7)$ yhtälöparin

$$ \left\{ \begin{aligned} x+y&=11\\ x-y&=-3\\ \end{aligned} \right. $$

ratkaisu.

Ratkaisu:

Tutkitaan kumpikin yhtälö erikseen.

Ylempi yhtälö:

$$ \begin{array}{rcll} x+y&=&11 &\quad ||\ x=4, y=7 \\ 4+7&=&11 & \\ 11&=&11 &\quad \mathrm{tosi} \end{array} $$

Alempi yhtälö:

$$ \begin{array}{rcll} x-y&=&-3 &\quad ||\ x=4, y=7 \\ 4-7&=&-3 & \\ -3&=&-3 &\quad \mathrm{tosi} \end{array} $$

Vastaus: Koska lukupari $ (4,7)$ toteuttaa molemmat yhtälöt, se on yhtälöparin ratkaisu.

Esim. 2. Yhtälöparin ratkaiseminen.

Ratkaise yhtälöpari $ \left\{ \begin{aligned} 2x+4y&=-2\\ 3x+5y&=-1\\ \end{aligned} \right. $ .

Ratkaisu:

Tapa 1: Yhteenlasku- eli eliminointimenetelmä.

$ \ \ \ \left\{ \begin{aligned} 2x+4y&=-2\quad||\ \cdot 3 \\ 3x+5y&=-1\quad||\ \cdot (-2) \\ \end{aligned} \right. $

$ \underline{\begin{array}\ \\+\end{array}\left\{ \begin{aligned} \cancel{6x}+12y&=-6 \\ \cancel{-6x}-10y&=2 \\ \end{aligned} \right.} $
$ \qquad \qquad \qquad 2y=-4 $

$ \qquad \qquad \qquad \ \ y=\frac{-4}{2}=-2 $

Sijoitetaan $y=-2$ alkuperäisistä yhtälöistä ylempään.

$ \begin{aligned} 2x+4\cdot (-2)&=-2\\ 2x-8&=-2\\ 2x&=-2+8\\ 2x&=6\\ x&=\frac{6}{2}=3 \end{aligned} $

Vastaus: $ \left\{ \begin{aligned} x&=3 \\ y&=-2 \\ \end{aligned} \right. $

Tapa 2: Sijoitusmenetelmä

$ \left\{ \begin{aligned} 2x+4y&=-2\\ 3x+5y&=-1\\ \end{aligned} \right. $ .

Ratkaistaan ylempi yhtälö muuttujan $x$ suhteen.

$ \begin{aligned} 2x+4y&=-2\\ 2x&=-2-4y\\ x&=\frac{-2-4y}{2}\\ x&=-1-2y\\ \end{aligned} $

Sijoitetaan $x=-1-2y$ alempaan yhtälöön ja ratkaistaan näin saatu yhtälö muuttujan $y$ suhteen.

$ \begin{aligned} 3x+5y&=-1\\ 3(-1-2y)+5y&=-1\\ -3-6y+5y&=-1\\ -6y+5y&=-1+3\\ -y&=2\\ y&=-2\\ \end{aligned} $

Sijoitetaan $y=-2$ alkuperäisistä yhtälöistä ylempään.

$ \begin{aligned} 2x+4\cdot (-2)&=-2\\ 2x-8&=-2\\ 2x&=-2+8\\ 2x&=6\\ x&=\frac{6}{2}=3 \end{aligned} $

Vastaus: $ \left\{ \begin{aligned} x&=3 \\ y&=-2 \\ \end{aligned} \right. $

Kappaleen alkuun.

3 POTENSSIT

3.1 Potenssin määritelmä

Luvun kertominen itsellään voidaan lyhentää potenssimerkinnän avulla.

Potenssimerkintä

$$a^{x}=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_\text{x kpl}$$

Potenssimerkinnässä kantaluku kerrotaan itsellään eksponentin osoittama määrä kertoja.

Esim. 1

$$3^{4}=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$

Eksponentti vaikuttaa vain välittömästi sen edessä olevaan lukuun. Muussa tapauksessa vaikutusalue määrätään sulkeilla.

Esim. 2

a) $-3^{2}=-3\cdot 3=-9$

b) $(-3)^2=-3\cdot (-3)=9$

Esim. 3

a) $\frac{3}{4}^{2}=\frac{3\ \cdot \ 3}{4}=\frac{9}{4}$

b) $\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$

Kymmenpotenssi

Kymmenpotenssi tarkoittaa luvun kymmenen potensseja. Suuria lukuja voidaan lyhentää kymmenpotenssin avulla. Merkinnästä käytetään myös nimitystä tieteellinen lukumuoto.

$$ \begin{aligned} 10&=10^1 \\ 100&=10^2 \\ 1000&=10^3 \\ 10000&=10^4 \\ &\vdots \\ \end{aligned} $$

Esim. 1

Merkitse kymmenpotenssin avulla.

$$2\ 150\ 000=2{,}15\cdot 10^6$$

Esim. 2

Merkitse tavallisena lukuna.

$$3{,}5\cdot 10^5 = 350\ 000$$

Kappaleen alkuun.

3.2 Potenssien laskusäännöt

Samankantaisten potenssien tulo

$$ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} $$

Samankantaisten potenssien kertolaskussa eksponentit lasketaan yhteen.

Todistus

$$ a^{m}\cdot a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_\text{m kpl}\cdot\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_\text{n kpl}=a^{m+n} $$

Esim. 1

$$x^{5}\cdot x^{4}=x^{5+4}=x^{9}$$

Esim. 2

$$x^{4}\cdot x^{-2}=x^{4+(-2)}=x^{4-2}=x^{2}$$

Esim. 3

Tapa 1: Laskujärjestyssäännöt

$$2^{3}\cdot2^{4}=8\cdot16=128$$

Tapa 2: Potenssien laskusäännöt

$$2^{3}\cdot2^{4}=2^{3+4}=2^{7}=128$$

Samankantaisten potenssien osamäärä

$$ \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} $$

Samankantaisten potenssien jakolaskussa eksponentit vähennetään.

Todistus

Todistetaan tilanne, jossa luku $m$ on suurempi kuin luku $n$.

$$ \frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}^\text{m kpl}}{\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_\text{n kpl}}=\frac{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \cdot \overbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot\ldots\cdot \cancel{a}}^\text{n kpl}}{\underbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot\ldots\cdot \cancel{a}}_\text{n kpl}}=a^{m-n} $$

Esim. 1

$$\frac{x^{7}}{x^{3}}=x^{7-3}=x^{4}$$

Tulon potenssi

$$(ab)^n=a^{n}b^{n}$$

Kertolaskun potenssissa kukin kerrottava korotetaan erikseen potenssiin.

Todistus

$$ (ab)^{n}=\underbrace{ab\cdot ab\cdot\ldots\cdot ab}_\text{n kpl}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_\text{n kpl}\cdot \underbrace{b\cdot b\cdot\ldots\cdot b}_\text{n kpl}=a^{n}b^{n} $$

Esim. 1

$$(3x)^2=3^{2}x^{2}=9x^{2}$$

Esim. 2

$$2^{10}\cdot 0{,}5^{10}=(2\cdot 0{,}5)^{10}=1^{10}=1$$

Osamäärän potenssi

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^{n}}{b^{n}}$$

Jakolaskun potenssissa jaettava ja jakaja korotetaan erikseen potenssiin.

Todistus

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\underbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \ldots\cdot\frac{a}{b}}_\text{n kpl}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}^\text{n kpl}}{\underbrace{b\cdot b\cdot\ldots\cdot b}_\text{n kpl}}=\frac{a^{n}}{b^{n}} $$

Esim. 1

$$\left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^{4}}{2^{4}}=\frac{x^{4}}{16}$$

Esim. 2

$$\frac{2^{6}}{0{,}2^{6}}=\left(\frac{2}{0{,}2}\right)^{6}=10^{6}=1\ 000\ 000$$

Potenssin potenssi

$$\left(a^m\right)^n=a^{m\ \cdot \ n}$$

Todistus

$$ \begin{aligned} \left(a^m\right)^n&=\underbrace{a^{m}\cdot a^{m}\cdot \ldots \cdot a^{m}}_\text{n kpl}\\ &=a\underbrace{^{m+m+\dots+m}}_\text{n kpl}\\ &=a^{m\ \cdot \ n} \end{aligned} $$

Esim. 1

$$\left(x^{2}\right)^4=x^{2\ \cdot\ 4}=x^{8}$$

Esim. 2

Tapa 1: Laskujärjestys

$$\left(2^{3}\right)^2=8^{2}=64$$

Tapa 2: Potenssin potenssi

$$\left(2^{3}\right)^2=2^{3\ \cdot\ 2}=2^{6}=64$$

Huom.

$2^{3^{2}}=2^9=512$ (Ei ole potenssin potenssi!)

Esim. 3

$$\left(\frac{4x^{3}}{5y}\right)^{2}=\frac{4^{2}\left(x^{3}\right)^{2}}{5^{2}y^{2}}=\frac{16x^{3\ \cdot\ 2}}{25y^{2}}=\frac{16x^{6}}{25y^{2}}$$

Kappaleen alkuun.

3.3 Eksponenttina nolla tai negatiivinen luku

Eksponenttina nolla

$$a^0=1$$

Luku potenssiin nolla on yksi.

Perustelu

Lasketaan kahdella tavalla osamäärä $\frac{a^n}{a^n}$.

Tapa 1: Supistaminen.

$$\frac{a^n}{a^n}=1$$

Luku jaettuna itsellään on 1.

Tapa 2: Samankantaisten potenssien osamäärä.

$$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$$

Yksikäsitteisyyden nojalla tulokset on samaistettava ja täten on oltava $a^0=1$.

Esim. 1

a) $2023^{0}=1$

b) $x^{0}=1$

c) $\left(\frac{7x^{5}}{9xy^{2}}\right)^{0}=1$

Negatiivinen eksponentti

$$a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n$$

Korotettaessa lukua negatiiviseen potenssiin kantaluvusta tehdään käänteisluku ja eksponentista vastaluku.

Perustelu

Lasketaan kahdella tavalla osamäärä $\frac{a^m}{a^n}$, kun luku $m$ on pienempi kuin luku $n$.

Tapa 1: Supistaminen.

$$ \begin{aligned} \frac{a^m}{a^n}&=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}^\text{m kpl}}{\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_\text{n kpl}}\\ &=\frac{\overbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot\ldots\cdot \cancel{a}}^\text{m kpl}}{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \cdot \underbrace{\cancel{a}\cdot \cancel{a}\cdot\ldots\cdot \cancel{a}}_\text{m kpl}}\\ &=\frac{1}{a^{n-m}}\\ &=\frac{1}{a^{-(m-n)}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-(m-n)}, \end{aligned} $$

missä $n-m>0$ ja sen vastaluku $m-n<0$.

Tapa 2: Samankantaisten potenssien osamäärä.

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},$$

missä $m-n<0$.

Yksikäsitteisyyden nojalla tulokset on samaistettava ja täten on oltava $a^{m-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-(m-n)}$.

Lukemisen helpottamiseksi merkitään vielä $m-n=-p$, jolloin voidaan kirjoittaa $a^{-p}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-(-p)}=\left(\frac{1}{a}\right)^{p}$.

Esim. 1

a) $3^{-1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1^{1}}{3^{1}}=\frac{1}{3}$

b) $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4^{2}}{3^{2}}=\frac{16}{9}$

c) $(5x)^{-2}=\left(\frac{1}{5x}\right)^{2}=\frac{1^{2}}{(5x)^{2}}=\frac{1}{5^{2}x^{2}}=\frac{1}{25x^{2}}$

Esim. 2

Merkitse kantaluvun 2 potenssina.

a) $16=2^{4}$

b) $0{,}5=\frac{1}{2}=2^{-1}$

Kymmenpotenssi ja negatiivinen eksponentti

Hyvin lähellä nollaa olevia lukuja voidaan lyhentää kymmenpotenssin avulla käyttämällä negatiivisia eksponentteja.

$$ \begin{array}{lccl} 1&&&=10^0 \\ 0{,}1&=&\frac{1}{10}&=10^{-1} \\ 0{,}01&=&\frac{1}{100}&=10^{-2} \\ 0{,}001&=&\frac{1}{1000}&=10^{-3} \\ 0{,}0001&=&\frac{1}{10000}&=10^{-4} \\ &&\vdots& \\ \end{array} $$

Esim. 1

Merkitse kymmenpotenssin avulla.

a) $0{,}005=5\cdot 0{,}001=5\cdot\frac{1}{1000}=5\cdot10^{-3}$

b) $0{,}000\ 002\ 4=2{,}4\cdot 10^{-6}$

Esim. 2

Merkitse tavallisena lukuna.

$3{,}17\cdot 10^{-4}=0{,}000\ 317$

Kappaleen alkuun.

4 JUURET

4.1 Neliöjuuri

Neliöjuuri on laskutoimitus, jonka tulos ilmoittaa vastauksen kysymykseen, mikä luku on kerrottava itsellään, että saadaan juurimerkin alla oleva luku.

Esim. 1

$\sqrt{16}=4$, koska $4^{2}=4\cdot 4=16$.

Neliöjuuren määritelmä

$\sqrt{a}=b$, kun

1) $b\geq 0$ ja

2) $b^{2}=a$

Siis luvun $a$ neliöjuuri on (1) epänegatiivinen luku $b$, jonka (2) toinen potenssi on luku $a$.

Toisin sanoen kohta (1) tarkoittaa, että neliöjuuren arvo on aina positiivinen luku.

Määrittelyehto

Neliöjuuri $\sqrt{a}$ on määritelty vain silloin, kun luku $a\geq0$

Neliöjuuri on luvun neliön eli toisen potenssin vastalasku. Tämä seuraa neliöjuuren määritelmän kohdasta (2) ja voidaan muotoilla matemaattisin merkein: $$\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a.$$

Toisin sanoen neliöjuurimerkin alla olevan luvun on oltava nolla tai positiivinen, että laskutoimitus on määritelty.

Esim. 2

Laske.

a) $\sqrt{49}$

b) $\sqrt{0{,}04}$

c) $\sqrt{\frac{1}{9}}$.

d) $\sqrt{-4}$

e) $-\sqrt{4}$

Esim. 3

Laske luvun $2$ neliöjuuri. Anna vastaus tarkkana arvona ja likiarvona kahden desimaalin tarkkuudella.

Laskujärjestys

Esim. 4

Laske.

$\sqrt{16+9}$

Huom.

Neliöjuurimerkin alla olevat laskutoimitukset lasketaan ennen neliöjuuren ottamista ikään, kuin neliöjuurimerkin alla olevat laskutoimitukset olisivat sulkeissa.

Esim. 5

Laske.

$\sqrt{16}+\sqrt{9}$

Huom.

Neliöjuuret otetaan ennen neliöjuurimerkin ulkopuolella olevien laskutoimitusten laskemista.

Neliöyhtälö

Muotoa $x^{2}=y$ olevaa potenssiyhtälöä kutsutaan neliöyhtälöksi.

Neliöyhtälö ratkaistaan neliöjuuren avulla.

Esim. 1

Ratkaise yhtälö $x^{2}=36.$

Vaikka neliöjuuren arvo on aina positiivinen luku, voi neliöyhtälöllä olla yksi, kaksi tai ei yhtään ratkaisua, koska yhtälön voi toteuttaa myös negatiivinen luku (neliöjuuren arvon vastaluku). Yksi ratkaisu neliöyhtälöllä on tilanteessa $x^{2}=0 \Leftrightarrow x=0$.

Vaillinainen 2. asteen polynomiyhtälö

Muotoa $ax^{2}+c=0$ oleva vaillinainen toisen asteen polynomiyhtälö voidaan muokata neliöyhtälöksi ja ratkaista neliöjuuren avulla.

Esim. 2

Ratkaise yhtälö $2x^{2}-18=0.$

Esim. 3*

Ratkaise yhtälö $5x^{2}+2x=2(x^{2}+x+6).$

Kappaleen alkuun.

4.2 Kuutiojuuri

Kuutiojuuri (eli kolmas juuri) on laskutoimitus, jonka tulos ilmoittaa vastauksen kysymykseen, mikä luku on kerrottava itsellään kolmesti, että saadaan juurimerkin alla oleva luku.

Esim. 1

a) $\sqrt[3]{8}=2$, koska $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2 =8$.

b) $\sqrt[3]{-8}=-2$, koska $(-2)^{3}=-2\cdot (-2)\cdot (-2) =-8$.

Kuutiojuuren määritelmä

$\sqrt[3]{a}=b$, kun

$b^{3}=a$

Siis luvun $a$ kuutiojuuri on luku $b$, jonka kolmas potenssi on luku $a$.

Määrittelyehto

Kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on määritelty kaikilla luvuilla $a$.

Kuutiojuuren määritelmästä seuraa, että kuutiojuuren arvo voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen sen mukaan, onko juurrettava positiivinen, nolla tai negatiivinen. Toisin sanoen kuutiojuuren arvon etumerkki on aina sama kuin juurrettavan etumerkki.

Kuutiojuuri on luvun kuution eli kolmannen potenssin vastalasku. Tämä seuraa kuutiojuuren määritelmästä ja voidaan muotoilla matemaattisin merkein: $$\left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}=a.$$

Esim. 2

Laske.

a) $\sqrt{27}$

b) $\sqrt{-0{,}027}$

Esim. 3

Laske luvun $54$ kuutiojuuri. Anna vastaus tarkkana arvona ja likiarvona kahden desimaalin tarkkuudella.

Kuutioyhtälö

Muotoa $x^{3}=y$ olevaa potenssiyhtälöä kutsutaan kuutioyhtälöksi.

Kuutioyhtälö ratkaistaan kuutiojuuren avulla.

Esim. 1

Ratkaise yhtälö $x^{3}=-27.$

Vaillinainen 3. asteen polynomiyhtälö

Muotoa $ax^{3}+d=0$ oleva vaillinainen kolmannen asteen polynomiyhtälö voidaan muokata kuutioyhtälöksi ja ratkaista kuutiojuuren avulla.

Esim. 2

Ratkaise yhtälö $2x^{3}-250=0.$

Esim. 3*

Ratkaise yhtälö $(x-1)^{3}=27.$

Kappaleen alkuun.

5 FUNKTIOT

5.1 Funktio

Määritelmä

Funktio on sääntö, joka yhdistää jokaisen (lähtö)joukon $X$ alkion täsmälleen yhteen (maali)joukon $Y$ alkioon.

Funktioilla voidaan esittää riippuvuuksia. Esimerkiksi kahden muuttujan yhtälöllä voidaan esittää, miten muuttujan $y$ arvo riippuu muuttujan $x$ arvosta.

Esim. 1

$\mathbf{x}$	$\mathbf{y=x+3}$
$0$	$y=0+3=3$
$1$	$y=1+3=4$
$2$	$y=2+3=5$
$\vdots$	$\vdots$

Funktiomerkintä

$$y=f(x)$$

Muuttuja $y$ korvataan funktion tapauksessa yleensä funktiomerkinnällä $f(x)$. Merkinnällä voidaan toisaalta tarkoittaa funktion arvoa muuttujan $x$ arvolla, toisaalta lyhentää funktion lauseketta.

Esim. 1

Merkintä $f(2)=5$ tarkoittaa, että muuttujan arvolla $x=2$ funktio $f$ saa arvon $y=5$.

Esim. 2

Merkintä $h(a)=2a-1$ tarkoittaa, että funktion $h$ lauseke on $2a-1$ ja muuttujakirjaimena on $a$.

Funktion arvon laskeminen

Esim. 1

Laske funktion $f(x)=3x-2$ arvo kohdassa $x=-1$.

Esim. 2

Funktio $f(x)=4x^{2}$. Laske $f(-2)$.

Muuttujan arvon laskeminen

Esim. 1

Millä muuttujan $x$ arvolla funktio $f(x)=2x-3$ saa arvon 11?

Esim. 2

Millä muuttujan $x$ arvolla funktiot $f(x)=3x-2$ ja $g(x)=2x-3$ saavat saman arvon?

Kappaleen alkuun.

5.2 Funktion kuvaaja

Esim. 1

Piirrä geometriaohjelmalla funktion $f(x)=x-1$ kuvaaja. Määritä kuvaajan perusteella

a) funktion $f$ arvo kohdassa $x=3$

b) se muuttujan $x$ arvo, jolla funktion $f$ arvo on $y=-3$.

Esim. 2

Piirrä geometriaohjelmalla funktion $g(x)=\frac{1}{4}x^{2}-6$ kuvaaja. Määritä kuvaajan perusteella

a) funktion $g$ arvo kohdassa $x=4$

b) ne muuttujan $x$ arvot, joilla funktion $g$ arvo on $y=3$.

Esim. 3

Piirrä geometriaohjelmalla funktion $g(x)=\frac{1}{4}x^{2}-6$ kuvaaja. Määritä kuvaajan perusteella

a) funktion $g$ nollakohdat (eli funktio saa arvon $y=0$, kuvaaja leikkaa $x$-akselin)

b) ne muuttujan $x$ arvot, joilla funktion $g$ arvo on positiivinen (eli $y> 0$, kuvaaja kulkee $x$-akselin yläpuolella)

c) ne muuttujan $x$ arvot, joilla funktion $g$ arvo on negatiivinen (eli $y< 0$, kuvaaja kulkee $x$-akselin alapuolella).

Esim. 4

Piirrä geometriaohjelmalla funktioiden $f(x)=x-1$ ja $g(x)=\frac{1}{4}x^{2}-6$ kuvaajat. Määritä kuvaajien perusteella, millä muuttujan $x$ arvoilla funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon eli $f(x)=g(x)$?

Vastaus: $x\approx -2{,}9$ ja $x\approx 6{,}9$.

Esim. 5

Piirrä geometriaohjelmalla funktion $f(x)=x^{2}$ kuvaaja. Määritä kuvaajan perusteella yhtälön

a) $x^{2}=4$ ratkaisu

b) $x^{2}=8$ ratkaisu yhden desimaalin tarkkuudella.

Kappaleen alkuun.

6 PROSENTIT

6.1 Prosentti

Prosentti

Yksi prosentti tarkoittaa yhtä sadasosaa.

$$1\ \%=\frac{1}{100}=0{,}01$$

Prosenttiluku muunnetaan desimaaliluvuksi jakamalla luvulla $100$.

Esim. 1

Muunna desimaaliluvuksi.

a) $37\ \%=0{,}37$

b) $105\ \%=1{,}05$

c) $2{,}1\ \%=0{,}021$

Desimaaliluku muunnetaan prosenttiluvuksi kertomalla luvulla $100$.

Esim. 2

Muunna prosenttiluvuksi.

a) $0{,}24=24\ \%$

b) $3{,}5=350\ \%$

c) $0{,}019=1{,}9\ \%$

Prosenttiluvun laskeminen

$$\text{prosenttiluku}\ p\ \%=\frac{\text{prosenttiarvo}\ a}{\text{perusarvo}\ b}\cdot 100\ \%$$

Prosenttiluvun laskeminen tuottaa vastauksen kysymykseen, kuinka monta prosenttia luku $a$ on luvusta $b$. Luvusta $a$ käytetään nimitystä prosenttiarvo ja luvusta $b$ perusarvo. Perusarvo on luku joka vastaa sadan prosentin kokonaisuutta.

Esim. 1

Koripallon alkuperäinen hinta oli 40 euroa. Tarjouksessa se maksoi 8 euroa vähemmän. Kuinka monta prosenttia alennus oli alkuperäisestä hinnasta?

Prosenttiarvon laskeminen

1) $\quad\displaystyle{\frac{\text{prosenttiluku}\ p\ \%}{100\ \%}=\text{prosenttikerroin}}$

2) $\quad\text{prosenttikerroin}\cdot \text{perusarvo}\ b=\text{prosenttiarvo}\ a$

Prosenttiarvon laskeminen tuottaa vastauksen kysymykseen, kuinka paljon on $p\ \%$ perusarvosta $b$?"

Esim. 1

Lindan kuukausipalkka on 3 200 euroa. Hänen verokortissaan määritelty ennakonpidätysprosentti on 20 %. Kuinka paljon ennakonpidätys on euroina?

Esim. 2*

Eräällä biologian opintojaksolla tutkittiin merivesien erilaisia suolapitoisuuksia. Opettajalla oli itse kerätyt näytteet vettä Atlantin valtamerestä (suolapitoisuus 3,7 %) ja Itämerestä (suolapitoisuus 0,7 %). Opiskelijalta sekoittui 500 g Atlantin vettä ja 200 g Itämeren vettä. Mikä oli seoksen suolapitoisuus?

Perusarvon laskeminen

Prosenttiarvon laskukaavasta muodostetaan yhtälö.

$$\text{prosenttikerroin}\cdot \text{perusarvo}\ b=\text{prosenttiarvo}\ a$$

Perusarvo ratkaistaan yhtälöstä.

$$\text{perusarvo}\ b=\frac{\text{prosenttiarvo}\ a}{\text{prosenttikerroin}}$$

Perusarvon laskeminen tuottaa vastauksen kysymykseen, mikä on perusarvo $b$, jos $p\ \%$ tuntemattomasta perusarvosta $b$ on tunnettu prosenttiarvo $a$.

Esim. 1

Liuos sisältää 15 prosenttia painostaan suolaa. Kuinka paljon liuosta on, kun siinä on 90 g suolaa?

Esim. 2 *

Ostaessasi auton osamaksulla, joudut maksamaan 20 prosenttia auton hinnasta käsirahana. Mitä auto maksaa, jos maksettavaa jää 13 600 euroa?

Kappaleen alkuun.

6.2 Muutos- ja vertailuprosentti

Vertailuprosentti

$$\text{vertailuprosentti}=\frac{\text{erotus}}{\text{vertailuarvo}}\cdot 100\ \%$$

Esim. 1

Manute Bol ja Tyrone Bogues ovat molemmat entisiä NBA-pelaajia. Bol on 231 cm pitkä ja Bogues 160 cm.

a) Kuinka monta prosenttia Bol on pidempi kuin Bogues?

b) Kuinka monta prosenttia Bogues on lyhyempi kuin Bol?

Muutosprosentti

$$\text{muutosprosentti}=\frac{\text{muutos}}{\text{alkuperäinen arvo}}\cdot 100\ \%$$

Esim. 1

Bensiinin litrahinta nousi 1,94 eurosta 2,02 euroon. Kuinka monta prosenttia hinta nousi?

Esim. 2

Puolueen kannatus laski 22 prosentista 19 prosenttiin.

a) Kuinka monta prosenttiyksikköä kannatus laski?

b) Kuinka monta prosenttia kannatus laski?

Esim. 3*

Liikuntapalvelujen arvonlisävero nousi 10 prosentista 14 prosenttiin.

a) Kuinka monta prosenttiyksikköä arvonlisävero nousi?

b) Kuinka monta prosenttia liikuntapalveluista maksettava vero nousi?

Kappaleen alkuun.

6.3 Muuttuva arvo

Esim. 1

Kuinka moninkertaiseksi tuotteen hinta muuttuu alkuperäiseen hintaan verrattuna, jos hintaa

a) nostetaan 100 %

b) nostetaan 200 %

c) nostetaan 50 %

d) lasketaan 50 %

Esim. 2

Koripallo maksaa 75 euroa. Sen hintaa nostetaan 5 %. Laske uusi hinta.

Esim. 3

120 euron tennismaila myydään 15 prosentin alennuksella. Laske alennettu hinta.

Esim. 4

Tuotteen hinta nousi ensin 10 % ja sitten 20 %. Kuinka monta prosenttia hinta nousi yhteensä?

Kappaleen alkuun.

7 VERRANNOLLISUUS

7.1 Suoraan verrannollisuus

Jos suureet A ja B ovat suoraan verrannollisia, niin ne muuttuvat samassa suhteessa samaan suuntaan. Esimerkiksi jos suure A kaksinkertaistuu, niin myös suure B kaksinkertaistuu.

Esim. 1. Banaanien kilohinta.

Banaanien hinta on suoraan verrannollinen banaanien määrään (massaan).

massa (kg)	hinta (€)
1	2
2	4
3	6
4	8

Suoraan verrannollisen funktion kuvaaja on koordinaatistossa origon kautta kulkeva nouseva suora. Suoran yhtälö on muotoa $y=kx$, missä $k$ on suoran kulmakerroin.

Suoraan verrannollinen funktio

Kuvaajan yhtälö:

$y=kx$.

Kulmakerroin:

$\displaystyle{k=\frac{y}{x}}$.

Esimerkissä 1 kulmakerroin $k=2$ on itse asiassa banaanien kilohinta 2 €/kg.

Esim. 2. Suoraan verrannollinen tehtävä.

Lettuihin tulee jauhoja 150 g ja nestettä 6 dl. Kuinka paljon tarvitaan nestettä, jos jauhoja tulee 500 g?

jauhoja (g)	nestettä (dl)
150	6
500	x

$ \begin{aligned} \frac{150\ \text{g}}{500\ \text{g}}&=\frac{6\ \text{dl}}{x} \quad\quad\quad||\ \text{kerrotaan ristiin}\ (x\neq0)\\ 150\cdot x&=500\cdot 6\ \text{dl} \quad\ ||:150\\ x&=\frac{500\cdot 6\ \text{dl}}{150}=20\ \text{dl} \end{aligned} $

Vastaus: Nestettä tarvitaan $20\ \text{dl}$.

Kappaleen alkuun.

7.2 Kääntäen verrannollisuus

Jos suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, niin ne muuttuvat samassa suhteessa eri suuntiin. Esimerkiksi jos suure A kaksinkertaistuu, niin suure B pienenee puoleen.

Esim. 1. Nopeuden vaikutus matkaan kuluvaan aikaan.

Matkaan kuluva aika on kääntäen verrannollinen nopeuteen, jolla matka kuljetaan.

nopeus (km/h)	aika (h)
10	6
20	3
30	2
60	1
120	0,5

Kääntäen verrannollisen funktion kuvaaja on koordinaatistossa hyperbeli. Kuvaajan yhtälö on muotoa $y=\frac{k}{x}$, missä $k$ on verrannollisuuskerroin.

Kääntäen verrannollinen funktio

Kuvaajan (hyperbeli) yhtälö:

$\displaystyle{y=\frac{k}{x}}$.

Verrannollisuuskerroin:

$k=yx$.

Esimerkissä 1 verrannollisuuskerroin $k=60$ on itse asiassa kuljettu välimatka 60 km.

Esim. 2 Kääntäen verrannollinen tehtävä.

Henkilöauton nopeus on 100 km/h ja pikajunan 180 km/h. Missä ajassa auto kulkee matkan, johon junalta kuluu 1,5 h?

nopeus (km/h)	aika (h)
100	x
180	1,5

$ \begin{aligned} \frac{100\ \text{km/h}}{180\ \text{km/h}}&=\frac{1{,}5\ \text{h}}{x} \quad\quad\ \ \ ||\ \text{kerrotaan ristiin}\ (x\neq0)\\ 100\cdot x&=180\cdot 1{,}5\ \text{h} \quad||:100\\ x&=\frac{180\cdot 1{,}5\ \text{h}}{100}=2{,}7\ \text{h} \end{aligned} $

Muunnetaan tunnin kymmenesosat minuuteiksi $0{,}7\cdot60\ \text{min}=42\ \text{min}$.

Vastaus: Auto kulkee matkan ajassa $2\ \text{h}\ 42\ \text{min}$.

Kappaleen alkuun.

\(\mathbf{x}\)	\(\mathbf{y=x+3}\)
\(0\)	\(y=0+3=3\)
\(1\)	\(y=1+3=4\)
\(2\)	\(y=2+3=5\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)

mikkoheino.fi

MAY1

Luvut ja yhtälöt (MAY1)

1 LUVUT JA LASKUTOIMITUKSET

1.1 Lukujoukot

Luonnolliset luvut

Kokonaisluvut

Rationaaliluvut

Reaaliluvut

1.2 Lukusuora

1.3 Reaalilukujen laskulait

1.4 Luvuilla laskeminen

Merkkisääntö

Yhdistettyjä laskutoimituksia

Itseisarvoilla laskeminen

1.5 Murtoluvut

Samannimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Erinimisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku

Murtolukujen kertolasku

Murtolukujen jakolasku

2 YHTÄLÖT

2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö

2.2 Identtinen yhtälö

2.3 Yhtälöpari

3 POTENSSIT

3.1 Potenssin määritelmä

Kymmenpotenssi

3.2 Potenssien laskusäännöt

Samankantaisten potenssien tulo

Samankantaisten potenssien osamäärä

Tulon potenssi

Osamäärän potenssi

Potenssin potenssi

3.3 Eksponenttina nolla tai negatiivinen luku

Eksponenttina nolla

Negatiivinen eksponentti

Kymmenpotenssi ja negatiivinen eksponentti

4 JUURET

4.1 Neliöjuuri

Laskujärjestys

Neliöyhtälö

Vaillinainen 2. asteen polynomiyhtälö

4.2 Kuutiojuuri

Kuutioyhtälö

Vaillinainen 3. asteen polynomiyhtälö

5 FUNKTIOT

5.1 Funktio

Määritelmä

Funktiomerkintä

Funktion arvon laskeminen

Muuttujan arvon laskeminen

5.2 Funktion kuvaaja

6 PROSENTIT

6.1 Prosentti

Prosentti

Prosenttiluvun laskeminen

Prosenttiarvon laskeminen

Perusarvon laskeminen

6.2 Muutos- ja vertailuprosentti

Vertailuprosentti

Muutosprosentti

6.3 Muuttuva arvo

7 VERRANNOLLISUUS

7.1 Suoraan verrannollisuus

Suoraan verrannollinen funktio

7.2 Kääntäen verrannollisuus

Kääntäen verrannollinen funktio