Funktiot ja yhtälöt 1 (MAA2)
Laajuus
3 op
Yleiset tavoitteet (LOPS 2021)
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden avulla, tuntee polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen yhteyden
- osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
- osaa käyttää ohjelmistoja polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja polynomiepäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt (LOPS 2021)
- polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
- 2. asteen yhtälön ratkaisukaava
- polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
- polynomien tekijät
- potenssifunktio ja potenssiyhtälö (eksponenttina positiivinen kokonaisluku)
- rationaalifunktiot ja -yhtälöt
- juurifunktiot ja -yhtälöt
Aikataulu
Suoritus
- osallistuminen
- tehtävien tekeminen
- 3 osakoetta
Arviointi
- Säännöllinen, aktiivinen ja vastuullinen osallistuminen, max. 3 p.
- Toimii oppitunnilla noudattaen ohjeita ja Kuopion lukioiden järjestyssääntöä.
- Enintään 1-2 poissaoloa tarkastelujaksolta, yhteensä korkeintaan 4 poissaoloa.
- Tarkistukset osakokeisiin mennessä.
- Pidemmän sairaspoissaolojakson sattuessa tapauskohtainen harkinta.
- Tehtävien asianmukainen ja jatkuva tekeminen, max. 3 p.
- Vähintään kaksi asianmukaisesti tehtyä tehtävää kustakin koealueen kappaleesta
- Tarkistukset osakokeisiin mennessä.
- Osakokeista max. 120 p = 36 p + 48 p + 36 p.
- Yhteensä max. 120 p (teoreettinen max. 126 p).
- 30 % arviointi.
| Pisteet | Arvosana | Muuta |
|---|---|---|
| 0 - 17 | i \(\rightarrow\) K | Pakko täydentää. |
| 18 - 35 | 4 | Oikeus täydentää. |
| 36 - 51 | 5 | |
| 52 - 67 | 6 | |
| 68 - 83 | 7 | |
| 84 - 99 | 8 | |
| 100 - 117 | 9 | |
| 118 - 120 | 10 |
Keskeyttäminen
Opettaja keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos
- opiskelija niin pyytää
- opiskelija ei ole läsnä opintojakson kahdella ensimmäisellä opetuskerralla ja opiskelija ei ole yhteydessä opettajaan eikä opettaja saa yhteyttä opiskelijaan.
Opettaja voi keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos opiskelijalla on neljä (4) poissaoloa. Tällaiset tilanteet opettaja käy läpi tapauskohtaisesti ja on ennen lopullista keskeytystä yhteydessä opiskelijaan.
Keskeyttämisestä opettaja merkitsee opintojaksosta opiskelijalle K-merkinnän Wilmaan ja poistaa opiskelijan sen jälkeen Wilman ryhmästä. Opettaja lähettää keskeyttämisestä viestin opiskelijalle, alaikäisen opiskelijan huoltajalle, ryhmänohjaajalle ja opolle.
1 POLYNOMIT
1.1 Polynomi
- Polynomi on termien yhteenlasku.
- Termi on kertolasku, joka koostuu kertoimesta ja muuttujaosasta.
- Muuttujan eksponentti on termin asteluku, sen on oltava positiivinen kokonaisluku.
- Polynomin asteluku on korkein polynomin termien asteluvuista.
Esim. 1
Mikä on polynomin \(4x^{3}-5x^{2}+x+8\)
a) termien lukumäärä
b) asteluku?
a) Polynomin termien lukumäärä on \(4\).
b) Polynomin asteluku on \(3\), koska se on polynomin termien asteluvuista korkein.
Esim.2
Taulukoi esimerkin 1 polynomin termit, termien kertoimet ja muuttujaosat sekä termien asteluvut.
| Termi | Kerroin | Muuttujaosa | Asteluku |
|---|---|---|---|
| $$4x^{3}$$ | $$4$$ | $$x^{3}$$ | $$3$$ |
| $$-5x^{2}$$ | $$-5$$ | $$x^{2}$$ | $$2$$ |
| $$x\textcolor{red}{=1\cdot x^{1}}$$ | $$1$$ | $$x$$ | $$1$$ |
| $$8$$ | $$8$$ | $$\text{ei ole}$$ | $$0$$ |
Huom.
Jos muuttujan eksponentti ei ole positiivinen kokonaisluku, kyseessä ei ole enää polynomi.
\(x^{-1}=\left(\frac{1}{x}\right)^1=\frac{1}{x}\) (murtolauseke)
\(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) (juurilauseke)
Polynomien nimeäminen
| Polynomi | Termien lukumäärä | Nimitys |
|---|---|---|
| $$-5x^{2}$$ | $$1$$ | $$\text{monomi}$$ |
| $$-5x^{2}+8$$ | $$2$$ | $$\text{binomi}$$ |
| $$-5x^2+x+8$$ | $$3$$ | $$\text{trinomi}$$ |
1.2 Polynomien summa ja erotus
- Termit ovat samanmuotoiset, jos niillä on täsmälleen sama muuttujaosa.
- Vain samanmuotoisia termejä voidaan yhdistää eli laskea yhteen tai vähentää toisistaan.
Esim. 1
Laske polynomien \(3x^{2}+2x\) ja \(4x^{2}-5x\)
a) summa
b) erotus
a) Merkitään summa ja sievennetään.
$$ \begin{array}{ll} 3x^{2}+2x+\left(4x^{2}-5x\right)\quad \quad&(1) \\ =3x^{2}+2x+4x^{2}-5x\quad \quad &(2)\\ =\textcolor{red}{3x^{2}+4x^{2}}\textcolor{blue}{+2x-5x}& \\ =7x^{2}-3x&\\ \end{array} $$
\((1)\) Poistetaan sulkeet.
\((2)\) Yhdistetään samanmuotoiset termit.
b) Merkitään erotus ja sievennetään.
$$ \begin{array}{ll} 3x^{2}+2x-\left(4x^{2}-5x\right)\quad \quad&(1)\\ =3x^{2}+2x-4x^{2}+5x\quad \quad&(2)\\ =-x^{2}+7x&\\ \end{array} $$
\((1)\) Poistetaan sulkeet. Vaihdetaan sulkeiden sisällä olevien termien etumerkit.
\((2)\) Yhdistetään samanmuotoiset termit.
1.3 Polynomien tulo
Esim. 1
Laske tulo.
a) \(3x^{2}\left(-5x\right)\)
b) \(2x\left(4x^{2}-5x\right)\)
c) \(\left(3x^{2}+2x\right)\left(4x^{2}-5x\right)\)
a) Kertoimet kerrotaan ja muuttujien eksponentit lasketaan yhteen.
$$ \begin{array}{ll} 3x^{2}\left(-5x\right)&\mid\ ab=ba\\ \textcolor{red}{=3\cdot (-5)\cdot x^{2}\cdot x}\quad &\mid\ x^{m}x^{n}=x^{m+n}\\ \textcolor{red}{=-15x^{2+1}}&\\ =-15x^{3}&\\ \end{array} $$
b) Sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan jokaista sulkeiden sisällä olevaa termiä.
$$ \begin{array}{ll} 2x\left(4x^{2}-5x\right)&\mid\ a(b+c)=ab+ac\\ \textcolor{red}{=2x\cdot4x^{2}+2x\cdot\left(-5x\right)}&\\ =8x^{3}-10x^2&\\ \end{array} $$
c) Ensimmäisen polynomin jokaisella termillä kerrotaan jokaista toisen polynomin termiä.
\(\)
$$ \begin{array}{ll} \left(3x^{2}+2x\right)\left(4x^{2}-5x\right)\\ \textcolor{red}{=3x^{2}\cdot4x^{2}+3x^{2}\cdot(-5x)+2x\cdot4x^{2}+2x\cdot(-5x)}&\\ =12x^{4}-15x^{3}+8x^{3}-10x^{2}&\\ =12x^{4}-7x^{3}-10x^{2}&\\ \end{array} $$
Huom.
Geogebralla voidaan sieventää polynomeja komennolla Sievennä().
1.4 Muistikaavat
Esim. 1
Laske lukujen \(a\) ja \(b\)
a) summan neliö
b) erotuksen neliö
c) summan ja erotuksen tulo
a) summan neliö
$$ \begin{array}{rl} \left(a+b\right)^{2}&=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\\ &=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b\\ &=a^{2}+ab+ab+b^{2}\\ &=a^{2}+2ab+b^{2}\\ \end{array} $$
b) erotuksen neliö
$$ \begin{array}{rl} \left(a-b\right)^{2}&=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\\ &=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b\\ &=a^{2}-ab-ab+b^{2}\\ &=a^{2}-2ab+b^{2}\\ \end{array} $$
c) summan ja erotuksen tulo
$$ \begin{array}{rl} \left(a+b\right)\left(a-b\right)&=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b\\ &=a^{2}\cancel{-ab}\cancel{+ab}+b^{2}\\ &=a^{2}-b^{2}\\ \end{array} $$
Muistikaavat
- Summan neliö
- Erotuksen neliö
- Summan ja erotuksen tulo
$$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
$$\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$
$$\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}$$
Esim. 2
Sievennä muistikaavojen avulla.
a) \(\left(3x+5\right)^{2}\)
b) \(\left(3x+5\right)\left(3x-5\right)\)
a) Summan neliö.
\(\begin{align}&\left(3x+5\right)^{2}\\ &=(3x)^2+2\cdot3x\cdot5+5^2\\ &=9x^2+30x+25 \end{align}\)
b) Summan ja erotuksen tulo.
\(\begin{align}&\left(3x+5\right)\left(3x-5\right)\\ &=(3x)^2-5^2\\ &=9x^2-25 \end{align}\)
1.5 Tekijöihin jakaminen
Luvun jakaminen tekijöihin tarkoittaa, että luku esitetään tekijöidensä tulona, kuten luku \(14=2\cdot 7\).
Polynomin jakaminen tekijöihin tarkoittaa vastaavasti, että polynomi esitetään polynomien tulona.
Polynomi voidaan jakaa tekijöihin eri tavoin eri tilanteissa.
1) Yhteinen tekijä
Osittelulakia \(a(b+c)=ab+ac\) voidaan käyttää käänteiseen suuntaan \(ab+ac=a(b+c)\) yhteisen tekijän erottamiseksi.
Esim. 1
Jaa tekijöihin ottamalla yhteinen tekijä.
a) \(2x+8=2\cdot x+2\cdot 4=2(x+4)\)
b) \(3x^{2}+6x=3x\cdot x+3x\cdot 2=3x(x+2)\)
2) Muistikaavat
Myös muistikaavoja voidaan käyttää käänteisesti.
Esim. 2
a) Jaa tekijöihin erotuksen neliön avulla.
\(\begin{array}{l} x^2-6x+9\quad \quad\mid\ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\\ =x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2\\ =(x-3)^2 \end{array}\)
b) Jaa tekijöihin summan ja erotuksen tulon avulla.
\(\begin{array}{l} 4x^2-36\quad \quad\mid\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\ =(2x)^2-6^2\\ =(2x+6)(2x-6) \end{array}\)
3) Ryhmittely
Ryhmittelyssä osittelulakia sovelletaan kahdesti.
\(\begin{array}{l}ac+ad+bc+bd\\=a(c+d)+b(c+d)\\=(a+b)(c+d)\end{array}\)
Esim. 3
a) Jaa tekijöihin ryhmittelemällä.
\(\begin{array}{l} x^3-2x^2+3x-6\\ =x^2(x-2)+3(x-2)\\ =(x^2+3)(x-2) \end{array}\)
b) Jaa tekijöihin ryhmittelemällä.
\(\begin{array}{l} x^2+3x+2\quad \quad\mid\ 3x=x+2x\\ =x^2+x+2x+2\\ =x(x+1)+2(x+1)\\ =(x+2)(x+1) \end{array}\)
Huom.
GeoGebralla voidaan jakaa polynomeja tekijöihin komennolla JaaTekijöihin().
2 Juuret
2.1 Neliöjuuri
Neliöjuuren määritelmä
\(\sqrt{a}=b\), kun
- \(b\geq0\) (Neliöjuuren arvo on epänegatiivinen)
- \(b^{2}=a\) (Neliöjuuren arvon neliö on juurrettava).
Neliöjuuren määrittelyehto
Luvun \(a\) neliöjuuri \(\sqrt{a}\) on määritelty vain, kun luku \(a\) on epänegatiivinen eli \(a\ge0\).
Esim. 1
Laske.
a) \(\sqrt{36}\) b) \(\sqrt{0{,}49}\) c) \(\sqrt{\frac{9}{16}}\) d) \(\sqrt{0}\)
e) \(\sqrt{-4}\ \!\) f) \(-\sqrt{4}\) g) \(\sqrt{2}\)
Neliöjuuren laskusääntöjä
1) Luvun neliön neliöjuuri on luvun itseisarvo.
$$\sqrt{a^{2}}=|a|$$
2) Tulon neliöjuuri on neliöjuurten tulo.
$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b},\ \text{kaikilla}\ a\geq0\ \text{ja}\ b\geq0$$
3) Osamäärän neliöjuuri on neliöjuurten osamäärä.
$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\ \text{kaikilla}\ a\geq0\ \text{ja}\ b\geq0$$
Esim. 1
Laske.
a) \(\sqrt{3^2}\) b) \(\sqrt{(-3)^2}\) c) \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}}\) d) \(\sqrt{16\cdot4}\)
Esim. 3
Sievennä \(\sqrt{24}+\sqrt{54}\).
Esim. 4
Osoita, että \(\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
2.2 Yleinen juuri
Yleisen juuren määritelmä
Luku \(n\) on parillinen positiivinen kokonaisluku
\(\sqrt[n]{a}=b\), kun
- \(b\geq0\) (Juuren arvo on epänegatiivinen.)
- \(b^{n}=a\) (Juuren arvon \(n\):s potenssi on juurrettava.)
Määrittelyehto: Jos \(n\) on parillinen, luvun \(a\) \(n\):s juuri \(\sqrt[n]{a}\) on määritelty, kun \(a\geq0\).
Jos \(n\) on pariton positiivinen kokonaisluku
\(\sqrt[n]{a}=b\), kun
\(b^{n}=a\) (Juuren arvon \(n\):s potenssi on juurrettava.)
Määrittelyehto: Jos \(n\) on pariton, luvun \(a\) \(n\):s juuri \(\sqrt[n]{a}\) on määritelty kaikilla luvun \(a\) arvoilla.
Esim. 1
Laske.
a) \(\sqrt[4]{16}\) b) \(\sqrt[4]{-16}\) c) \(\sqrt[5]{32}\) d) \(\sqrt[5]{-32}\)
2.3 Potenssifunktio
Potenssifunktio
Potenssifunktio on muotoa $$f(x)=x^{n},$$ missä \(n\) on positiivinen kokonaisluku.
Huom.
Jos \(n\) on parillinen, funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Jos \(n\) on pariton, funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.
Potenssiyhtälö
Potenssiyhtälö on muotoa $$x^{n}=a.$$ Potenssiyhtälö ratkaistaan yleisen juuren \(\sqrt[n]{\ }\) avulla.
- Jos \(n\) on parillinen, yhtälöllä voi olla 0, 1 tai 2 ratkaisua.
- Jos \(n\) on pariton, yhtälöllä on yksi ratkaisu.
Esim. 2
Ratkaise yhtälö.
a) \(x^6+2=19\)
b) \(2x^5-150=336\)
Esim. 3*
Vuoden alussa tilille talletettiin 800 euroa. Mikä on tilin korkoprosentin oltava, jotta tilille karttuu 900 euroa
a) neljässä vuodessa
b) viidessä vuodessa?
3 POLYNOMIFUNKTIO (1. aste)
3.1 Funktio
Funktio
Funktio on sääntö, joka yhdistää jokaisen määrittelyjoukon alkion (luvun) täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon (lukuun).
Määrittelyjoukon alkiot (luvut) ovat muuttujan \(x\) arvoja.
Ne alkiot (luvut), joihin määrittelyjoukon alkiot (luvut) yhdistyvät, muodostavat arvojoukon eli ovat funktion arvoja.
Funktiomerkintä
$$f(x)=y$$
Esim. 1
Merkintä \(f(2)=5\) tarkoittaa, että muuttujan arvolla \(x=2\) funktio \(f\) saa arvon \(y=5\).
Esim. 2
Merkintä \(f(x)=2x+6\) tarkoittaa, että funktion \(f\) lauseke on \(2x+6\).
3.2 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio on muotoa
$$f(x)=ax+b,$$
missä \(a\) ja \(b\) ovat reaalilukuja ja \(a\neq0\).
Lukua \(a\) kutsutaan kulmakertoimeksi ja lukua \(b\) vakiotermiksi.
Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora, siksi voidaan puhua myös lineaarisesta funktiosta.
Jos kulmakerroin
\(a>0\), suora on nouseva.
\(a<0\), suora on laskeva.
Vakiotermi \(b\) ilmaisee y-akselin leikkauskohdan.
Huom.
Jos \(a=0\), funktio saa muodon \(f(x)=b\). Tällaista funktiota, jossa on vain vakiotermi, kutsutaan vakiofunktioksi.
Esim. 1
Laske funktion \(f(x)=3x-2\) arvo kohdassa \(x=-1\).
$$ \begin{aligned} f(-1)&=3\cdot(-1)-2\\ &=-3-2\\ &=-5 \end{aligned} $$
Esim. 2
Millä muuttujan \(x\) arvolla funktiot \(f(x)=3x-2\) ja \(g(x)=2x-3\) saavat saman arvon?
\(\begin{aligned} f(x)&=g(x)\\ 3x-2&=2x-3\\ 3x-2x&=-3+2\\ x&=-1 \end{aligned}\)
Nollakohta
Funktion nollakohta tarkoittaa muuttujan \(x\) arvoa, jolla funktio saa arvon nolla.
Esim. 3
Selvitä laskemalla funktion \(f(x)=4x+8\) nollakohta.
Nollakohta tarkoittaa muuttujan \(x\) arvoa, jolla funktio saa arvon nolla. Selvitetään siis, millä muuttujan \(x\) arvolla \(f(x)=0\).
\(\begin{aligned} f(x)&=0\\ 4\cdot x+8&=0 \quad ||-8\\ 4x&=-8 \quad ||:4\\ x&=-2 \end{aligned}\)
Huom.
Visuaalisti kuvaajasta katsottuna funktion nollakohta on \(x\)-akselin leikkauskohta.
3.3 Ensimmäisen asteen polynomiyhtälö
Ensimmäisen asteen polynomiyhtälö
Ensimmäisen asteen polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan kirjoittaa muotoon
$$ax+b=0,$$
missä \(a\neq0\).
Esim. 1
Ratkaise yhtälö.
a) \(4x-5=x+7\)
b) \(3-(2x+1)=4(x-1)\)
c) \(\displaystyle{\frac{x}{3}=x+2}\)
d) \(\displaystyle{2+\frac{x+1}{3}=\frac{x}{4}+1}\)
a)
\(\begin{align}
4x-5&=x+7\quad\quad\quad \text{siirrä}\\
4x-x&=7+5\quad\quad\quad \text{sievennä}\\
3x&=12\quad\quad\mid\,:3\ \ \text{jaa}\\
x&=4
\end{align}\)
b)
\(\begin{align}
3-(2x+1)&=4(x-1)\quad\quad \text{poista sulkeet}\\
3-2x-1&=4x-4\\
-2x-4x&=-4-3+1\\
-6x&=-6\quad\quad\quad\quad\mid\,:(-6)\\
x&=1
\end{align}\)
c)
\(\begin{align}
\dfrac{x}{3}&=x+2\quad\quad\mid\cdot\,3\ \ \text{poista nimittäjä}\\
3\cdot\dfrac{x}{3}&=3(x+2)\\
x&=3x+6\\
x-3x&=6\\
-2x&=6\quad\quad\quad\ \ \ \mid\,:(-2)\\
x&=-3
\end{align}\)
d)
\(\begin{align}
2+\dfrac{x+1}{3}&=\dfrac{x}{4}+1\quad\quad\quad\mid\cdot\,12\\
12\cdot2+12\cdot\dfrac{x+1}{3}&=12\cdot\dfrac{x}{4}+12\cdot1\\
24+4(x+1)&=3x+12\\
24+4x+4&=3x+12\\
4x-3x&=12-24-4\\
x&=-16
\end{align}\)
3.4 Ensimmäisen asteen polynomiepäyhtälö
Epäyhtälön tunnistaa erisuuruusmerkistä \((<, >, \leq, \geq)\). Ensimmäisen asteen polynomiepäyhtälön asteluku on yksi.
Ensimmäisen asteen polynomiepäyhtälö ratkaistaan kuten ensimmäisen asteen polynomiyhtälö sillä erotuksella, että erisuuruusmerkin suunta vaihtuu, kun epäyhtälö kerrotaan tai jaetaan puolittain negatiivisella luvulla.
Epäyhtälön ratkaisuja ovat kaikki ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön. Kaikkia ratkaisuja yhdessä kutsutaan epäyhtälön ratkaisujoukoksi.
Esim. 1.
Ratkaise epäyhtälö.
a) \(\frac{4x-2}{3}+2\leq\frac{x+1}{2}\)
b) \(4+3(x-2)<5x-6\)
a)
\(\begin{align}
\frac{4x-2}{3}+2&\leq\frac{x+1}{2}&\mid&\cdot 6\\
\overset{2}{\cancel{6}}\cdot\frac{4x-2}{\underset{1}{\cancel{3}}}+6\cdot2&\leq\overset{3}{\cancel{6}}\cdot\frac{x+1}{\underset{1}{\cancel{2}}}\\
8x-4+12&\leq3x+3&\mid&-3x+4-12\\
8x-3x&\leq3+4-12\\
5x&\leq-5&\mid&:5\\
x&\leq-1\\
\end{align}\)
b)
\(
\begin{align}
4+3(x-2)&<5x-6& \\
4+3x-6&<5x-6&\quad&\mid-5x-4+6\\
3x-5x&<-6-4+6&\\
-2x&<-4&\quad&\mid\,:(-2)\ \textcolor{blue}{\text{Erisuuruusmerkin suunta vaihtuu!}}\\
x&>2&\\
\end{align}\)
Esim. 2
Taulukossa on kahden eri taksiyhtiön hinnoittelu. Kuinka pitkillä matkoilla taksiyhtiö A tulee halvemmaksi?
| Lähtömaksu | Kilometrit | |
|---|---|---|
| Taksiyhtiö A | 4,00 € | 0,50 €/km |
| Taksiyhtiö B | 3,00 € | 0,60 €/km |
Merkitään muuttujalla \(x\) matkaa kilometreinä.
Kirjoitetaan lausekkeet matkojen hinnoille.
\(A(x)=4+0{,}5x\)
\(B(x)=3+0{,}6x\)
Tutkitaan, milloin taksiyhtiö A on halvempi.
\(\begin{align} A(x)&< B(x)& \\ 4+0{,}5x&<3+0{,}6x &\textcolor{blue}{||}&\ \textcolor{blue}{\text{CAS-laskimella:}}\\ & & &\ \textcolor{blue}{\text{solve}(4+0.5x<3+0.6x,x)}\\ x&>10\\ \end{align}\)
Vastaus: Taksiyhtiö A on halvempi, kun matkaa on yli 10 km.
4 POLYNOMIFUNKTIO (2. aste)
4.1 Toisen asteen polynomifunktio
Toisen asteen polynomifunktio
Toisen asteen polynomifunktio on muotoa:
$$f(x)=ax^{2}+bx+c,$$
missä \(a\neq0\).
Toisen asteen polynomifunktio
Toisen asteen polynomifunktio on muotoa: $$f(x)=ax^{2}+bx+c,$$ missä \(a\neq0\).
Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli.
Jos toisen asteen termin kerroin
\(a>0\), niin paraabeli aukeaa ylöspäin ja huipun y-koordinaatti on samalla funktion pienin arvo
\(a<0\), niin paraabeli aukeaa alaspäin ja huipun y-koordinaatti on samalla funktion suurin arvo.
Vakiotermi \(c\) ilmaisee y-akselin leikkauskohdan.
4.2 Toisen asteen polynomiyhtälö
Toisen asteen polynomiyhtälö
Toisen asteen polynomiyhtälö voidaan kirjoitaa (normaali)muotoon: $$ax^{2}+bx+c=0,$$ missä \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat reaalilukuja ja \(a\neq0\).
Toisen asteen yhtälöllä voi olla 0, 1 tai 2 ratkaisua.
Toisen asteen yhtälön \(ax^{2}+bx+c=0\) ratkaisut vastaavat funktion \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) nollakohtia.
Vaillinainen toisen asteen polynomiyhtälö
1) Jos luku \(b=0\), toisen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon: $$ax^{2}+c=0.$$
Tällainen yhtälö voidaan muokata potenssiyhtälöksi ja ratkaista kuten potenssiyhtälö.
Esim.1
Ratkaise yhtälö.
a) \(4x^{2}-9=0\).
b) \(6x^{2}+3(x-1)=4x^{2}+3x+15\)
\(\begin{align} 4x^{2}-9&=0&&||+9\\ 4x^{2}&=9&&||:4\\ x^{2}&=\frac{9}{4}&&||\sqrt{\ }\\ x&=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\pm\frac{3}{2} \end{align}\)
Vastaus: \(x=\frac{3}{2}\) tai \(x=-\frac{3}{2}\)
2) Jos luku \(c=0\), toisen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon: $$ax^{2}+bx=0.$$
Tällainen yhtälö voidaan ratkaista jakamalla yhtälön vasen puoli tekijöihin ja käyttämällä tulon nollasääntöä.
Tulon nollasääntö
Tulo on nolla, jos ja vain jos vähintään toinen tekijöistä on nolla.
$$xy=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0\ \text{tai}\ y=0$$
Esim. 2
Ratkaise yhtälö.
a) \(x^{2}+3x=0\)
b) \(2x^{2}-7=4x-7\)
a)
\(\begin{align} x^{2}+3x&=0&&\textcolor{blue}{\text{Jaetaan tekijöihin.}}\\ x(x+3)&=0&&\textcolor{blue}{\text{Tulon nollasääntö.}}\\ \end{align}\)
\(\begin{align} x=0&\quad\text{tai}&x+3&=0\quad \mid-3\\ &&x&=-3 \end{align}\)
Vastaus: \(x=0\) tai \(x=-3\)
b)
Vastaus: \(x=0\) tai \(x=2\)
Täydellinen toisen asteen polynomiyhtälö
Lisätieto
Täydellinen toisen asteen yhtälö \(ax^{2}+bx+c=0\), missä \(a\neq0\), \(b\neq0\) ja \(c\neq0\), voidaan ratkaista muistikaavojen avulla. Muistikaavoista voidaan johtaa toisen asteen polynomiyhtälölle ratkaisukaava, jonka avulla voidaan ratkaista niin vaillinaisia kuin täydellisiä toisen asteen polynomiyhtälöitä. Ratkaisukaavaan tutustumme seuraavassa kappaleessa.
Esim. 3*
Ratkaise yhtälö \((x-1)^{2}=16\).
\( \begin{aligned} (x-1)^{2}&=16 \quad\ \mid\, \sqrt{\ }\\ x-1&=\pm4 \quad \mid+1 \\ x&=\pm4+1\\ x&=5\ \text{tai}\ x=-3\\ \end{aligned} \)
Vastaus: \(x=5\) tai \(x=-3\)
4.3 Ratkaisukaava
Toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaava
Toisen asteen yhtälön normaalimuoto \(ax^{2}+bx+c=0\) voidaan ratkaista käyttäen ratkaisukaavaa $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$$ missä \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat normaalimuotoon saatetun toisen asteen yhtälön vasemman puolen termien kertoimet.
Esim. 1
Ratkaise yhtälöt.
a) \(-3x^{2}+5x+2=0\)
b) \(6x^{2}+2x+3=4x^{2}+3x+4\)
a) Vastaus: \(x=-\frac{1}{3}\) tai \(x=2\)
b) Vastaus: \(x=-\frac{1}{2}\) tai \(x=1\)
4.4 Toisen asteen polynomiepäyhtälö
Toisen asteen polynomiepäyhtälön ratkaiseminen perustuu toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisuihin ja toisen asteen polynomifunktion kuvaajan kulkuun koordinaatistossa.
Toisen asteen polynomiepäyhtälön ratkaiseminen
Järjestä epäyhtälön termit erisuuruusmerkin vasemmalle puolelle, oikealle jää 0.
Ratkaise epäyhtälön vasemman puolen polynomia vastaavan funktion nollakohdat.
Hahmottele funktion kuvaaja (merkkikaavio).
Päättele epäyhtälön ratkaisujoukko kuvaajan (merkkikaavion) perusteella.
Esim. 1
Ratkaise epäyhtälö.
a) \(4x\le 3x^{2}+1\)
b) \(4x^{2}+3\lt2x+5\)
c) \(x^{2}+2x\le -1\)
a) Vastaus: \(x\le \frac{1}{3}\) tai \(x\ge 1\)
b) Vastaus: \(-\frac{1}{4}\lt x\lt \frac{5}{4} \)
c) Vastaus: \(x=-1\)
4.5 Diskriminantti
Toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisukaavassa $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\textcolor{red}{b^{2}-4ac}}}{2a}$$ neliöjuurimerkin alle jäävää osaa kutsutaan diskriminantiksi.
Diskriminantti
\(D=b^{2}-4ac\)
Toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisujen lukumäärä riippuu diskriminantin \(D\) arvosta.
Diskriminantti ja toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä
Jos \(D>0\), ratkaisuja on kaksi.
Jos \(D=0\), ratkaisuja on yksi.
Jos \(D<0\), ratkaisuja ei ole.
Esim. 1
Määritä ratkaisujen lukumäärä.
a) \(4x^{2}+7x-5=0\)
b) \(3x^{2}-2x=-1\)
c) \(6x=x^{2}+9\)
a) Vastaus: Kaksi ratkaisua.
b) Vastaus: Ei ratkaisuja.
c) Vastaus: Yksi ratkaisu.
Esim. 2
Millä vakion \(b\) arvolla yhtälöllä \(2x^{2}+bx+2=0\)
a) ei ole ratkaisuja
b) on tasan yksi ratkaisu?
a) Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, jos diskriminantti \(D<0\).
Muodostetaan epäyhtälö.
\( \begin{align} b^{2}-4\cdot2\cdot2&<0\\ b^{2}-16&<0\\ \end{align} \)
Nollakohdat:
\( \begin{align} b^{2}-16&=0&\mid&\ +16\\ b^{2}&=16&\mid&\ \sqrt{\ }\\ b&=\pm 4\\ \end{align} \)
Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten kysytyt vakion \(b\) arvot ovat nollakohtien välissä.
Vastaus: \(-4< b <4\).
b) Yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu, jos diskriminantti \(D=0\).
A-kohdan perusteella \(D=b^{2}-4\cdot2\cdot2=0\), kun \(b=\pm 4\).
Vastaus: \(b=-4\) tai \(b=4\).
4.6 Sovelluksia
Sanallinen tehtävä
- Lue tehtävänanto rauhassa alusta loppuun.
- Mieti, mitä tehtävässä kysytään.
- Mieti, mitä tietoja tehtävässä on annettu.
- Hahmottele ratkaisua paperille. Toisinaan kannattaa piirtää kuva.
Ongelman ratkaiseminen yhtälön avulla
- Mieti, voiko ongelman muotoilla yhtälöksi.
- Usein kysyttyä asiaa kannattaa merkitä x:llä.
- Muodosta yhtälö tehtävässä annetuista tiedoista ja ratkaise yhtälö.
- Mieti, onko saamasi ratkaisu mielekäs.
- Kirjoita vastaus. Muista tarvittaessa merkitä vastauksen yksikkö!
Esim. 1
Suorakulmion piiri on \(5{,}0\ \text{m}\). Suorakulmion pinta-ala on \(1{,}0\ \text{m}^{2}\). Mitkä ovat suorakulmion mitat?
Vastaus: Suorakulmion mitat ovat kanta \(2{,}0\ \text{m}\) ja korkeus \(0{,}5\ \text{m}\) tai kanta \(0{,}5\ \text{m}\) ja korkeus \(2{,}0\ \text{m}\).
5 POLYNOMIFUNKTIO (\(n\):s aste)
5.1 Korkeamman asteen polynomifunktio
Jos polynomifunktion asteluku on kolme tai sitä suurempi kokonaisluku, kyseessä on korkeamman asteen polynomifunktio.
Korkeamman asteen polynomifunktio
Korkeamman asteen polynomifunktio on muotoa:
$$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0},$$ missä \(n\) on positiivinen kokonaisluku ja \(a_{n}\neq0\).
Aiemmin on havaittu, että ensimmäisen asteen polynomifunktiolla on yksi nollakohta ja toisen asteen polynomifunktiolla korkeintaan kaksi nollakohtaa. Johdonmukaisesti polynomifunktiolla, jonka asteluku on \(n\), on korkeintaan \(n\) kappaletta nollakohtia.
Jos \(n\) on parillinen kokonaisluku, funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, kun korkeimman asteen termin kerroin on positiivinen, ja funktion kuvaaja aukeaa alaspäin, kun korkeimman asteen termin kerroin on negatiivinen. Kuvaaja voi siis kulkea myös \(x\)-akselin ylä- tai alapuolella siten, että funktiolla ei ole yhtään nollakohtaa.
Jos \(n\) on pariton kokonaisluku, funktion kuvaaja on kulkee "enimmäkseen ylämäkeen", kun korkeimman asteen termin kerroin on positiivinen, ja funktion kuvaaja kulkee "enimmäkseen alamäkeen", kun korkeimman asteen termin kerroin on negatiivinen. Kuvaaja leikkaa \(x\)-akselin välttämättä vähintään kerran.
5.2 Korkeamman asteen polynomiyhtälö
Korkeamman asteen polynomiyhtälö
Korkeamman asteen polynomiyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon: $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}=0.$$
Korkeamman asteen yhtälöistä vain kolmannen ja neljännen asteen yhtälöillä on olemassa ratkaisukaavat, mutta ne ovat niin mutkikkaita, että niitä ei opiskella. Ratkaisemisessa voidaan hyödyntää tekijöihin jakamista ja tulon nollasääntöä.
Esim. 1
Ratkaise yhtälö \(x^{5}-16x=0\).
\(\begin{align} x^{5}-16x&=0&&\\ x(x^{4}-16)&=0&&\\ x=0\ \quad\ \quad&\text{tai}&x^{4}-16&=0\\ &&x^{4}&=16\quad\mid\,\sqrt[4]{\ }\\ &&x&=\pm2 \end{align}\)
Vastaus: \(x=-2, x=0\ \text{tai}\ x=2\).
Esim. 2
Ratkaise yhtälö \(x^{3}-3x=-2x^{2}\).
Vastaus: \(x=-3, x=0\ \text{tai}\ x=1\).
Esim. 3
Ratkaise yhtälö \(x^{3}+x^{2}=4x+4\).
Ratkaisu:
Vastaus: \(x=-2, x=-1\ \text{tai}\ x=2\).
5.3 Nollakohtien ja tekijöiden yhteys
Polynomifunktion nollakohtien ja tekijöiden välinen yhteys
Jos polynomiyhtälöllä $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}=0$$ on ratkaisut \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\), niin yhtälön vasenpuoli voidaan jakaa tekijöihin $$a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\ldots\left(x-x_{n}\right).$$
Esim. 1
Jaa polynomi \(2x^{2}+4x-6\) tekijöihin nollakohtien avulla.
Vastaus: \(2(x-1)(x-(-3))\).
Esim. 2
Muodosta kolmannen asteen polynomifunktio, jonka nollakohdat ovat \(x=-1\), \(x=0\) ja \(x=2\), kun tiedetään, että polynomifunktion arvo kohdassa \(x=3\) on \(48\).
Vastaus: \(4x(x+1)(x-2)\).
Esim. 3
Millä vakion c arvoilla funktion \(f(x)=x^{2}+2x+c\) tekijänä on \((x-3)\).
Vastaus: \(c=-15\).
5.4 Korkeamman asteen polynomiepäyhtälö
Korkeamman asteen polynomiepäyhtälön ratkaiseminen muistuttaa toisen asteen vastaavaa toimitusta, mutta kuvaajan hahmottelemisen sijasta kuvaajan kulkua selvitetään nollakohtien ja testipisteiden avulla. Kuvaajan kulun selvittäminen perustuu tietoon, että funktion arvon etumerkki voi vaihtua vain nollakohdassa. Testipisteillä selvitetään etumerkki nollakohdan eripuolilla. Tulokset kootaan merkkikaavioksi, jonka perusteella päätellään lopullinen vastaus eli epäyhtälön ratkaisujoukko.
Korkeamman asteen polynomiepäyhtälön ratkaiseminen
Järjestä epäyhtälön termit erisuuruusmerkin vasemmalle puolelle, oikealle jää 0.
Ratkaise vastaavan funktion nollakohdat.
Selvitä testipisteillä funktion arvon etumerkki nollakohtien eri puolilla ja laadi merkkikaavio.
Päättele epäyhtälön ratkaisujoukko merkkikaavion perusteella.
Esim. 1
Ratkaise epäyhtälö.
a) \(2x^3+2x^2-4x\gt0\)
b) \(12x^2\le3x^4\)
Vastaus: a) \(-2\lt x\lt0\ \text{tai}\ x\gt1\) b) \(x\le-2, x=0\ \text{tai}\ x\ge2\)
6 RATIONAALIFUNKTIO
6.1 Rationaalifunktio
Murtolauseke
Murtolauseke on polynomien osamäärä.
Esim. 1
Lauseke \(\displaystyle{\frac{x^{2}-2x}{x+1}}\) on murtolauseke.
Rationaalifunktio
Rationaalifunktio on funktio, jonka lauseke on polynomi tai murtolauseke tai niiden summa.
Esim. 2
Funktiot \(f(x)=x^{2}-2x\), \(g(x)=\displaystyle{\frac{x^{2}-2x}{x+1}}\) ja \(h(x)=x^{2}-2x+\displaystyle{\frac{x^{2}-2x}{x+1}}\) ovat rationaalifunktioita.
Huom.
Kaikki polynomifunktiot ovat myös rationaalifunktioita.
Funktion määrittelyjoukko
Funktion määrittelyjoukko on kaikkien niiden lukujen joukko, jotka on sijoitettavissa funktioon muuttujan paikalle funktion arvon laskemiseksi.
Esim. 3
Ilmoita funktion määrittelyehto ja määrittelyjoukko.
a) \(f(x)=x^{2}-2x\), kun \(0\le x\le2\)
b) \(g(x)=\displaystyle{\frac{x^{2}-2x}{x+1}}\)
c) Neliön pinta-alan \(A(x)=x^2\) riippuvuus neliön sivun pituudesta \(x\).
Esim. 4
Määritä funktion määrittelyehto. Supista funktion lauseke, jos mahdollista.
a) \(f(x)=\displaystyle{\frac{4x^{2}-2x}{2x}}\)
b) \(g(x)=\displaystyle{\frac{x-3}{3-x}}\)
c) \(h(x)=\displaystyle{\frac{x^2-2x+1}{x-1}}\)
6.2 Rationaalilausekkeiden sieventäminen
Kerrataan erinimisten murtolukujen yhteenlasku ja murtoluvun kertominen murtoluvulla.
Esim. 1
a) \(\displaystyle{{ ^{3)}\atop }\frac{1}{2}-{ ^{2)}\atop }\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}}\)
b) \(\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1\cdot1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}}\)
Rationaalilausekkeiden sieventäminen tapahtuu kuten murtoluvuilla laskeminen. Lisäksi voidaan hyödyntää muistikaavoja, tekijöihin jakamista ja tulon supistamista.
Esim. 2
Sievennä lausekkeet.
a) \(\displaystyle{\frac{x+1}{x}-\frac{x+2}{x-3}}\), kun \(x\neq0\) ja \(x\neq3\)
b) \(x^{2}-2x+\displaystyle{\frac{x^{2}-2x}{x+1}}\), kun \(x\neq-1\)
Esim. 3
Sievennä lausekkeet.
a) \(\displaystyle{\frac{2x^2-4x}{x+2}\cdot\frac{x+1}{x-2}}\), kun \(x\neq-2\) ja \(x\neq2\)
b) \(\left(x^{2}-16\right)\cdot\displaystyle{\frac{3x}{x+4}}\), kun \(x\neq-4\)
Huom.
Rationaalilausekkeita voidaan sieventää CAS-laskimella komennoilla Expand(), Murtoluvuksi(), Rationalize(), combine() tai comDenom().
6.3 Rationaaliyhtälö
Kerrataan nimittäjän poistaminen yhtälöstä.
Esim. 1
\(\begin{align} \displaystyle{\frac{x}{2}}&=5 \quad \quad \mid \cdot 2\\ \\ \displaystyle{\cancel{2}\cdot\frac{x}{\cancel{2}}}&=2\cdot5\\ \\ x&=10 \end{align}\)
Samaa periaatetta käytetään rationaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.
Esim. 2
Ratkaise rationaaliyhtälö.
\(\displaystyle{\frac{4x}{x-3}-\frac{1}{x}=2}\)
Määrittelyehto:
Nimittäjien nollakohdat
\(\begin{alignat}{3}x-3&=0 \quad \text{ja} \quad x&=0\\x&=3\end{alignat}\)
Rationaaliyhtälö on määritelty, kun \(x\neq0\) ja \(x\neq3\).
\(\begin{alignat}{3} \displaystyle{\frac{4x}{x-3}-\frac{1}{x}}&=2 & \mid \cdot\ (x-3) \cdot x\\ \\ \displaystyle{\frac{4x\cancel{(x-3)}x}{\cancel{x-3}}-\frac{1(x-3)\cancel{x}}{\cancel{x}}}&=2(x-3)x\\ \\ 4x^2-(x-3)&=(2x-6)x\\ \\ 4x^2-x+3&=2x^2-6x & \mid -\ 2x^2+6x\\ \\ 2x^2+5x+3&=0\\ \\ x&=\displaystyle{\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2\cdot3}}{2\cdot2}}\\ \\ &=\displaystyle{\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{4}}\\ \\ &=\displaystyle{\frac{-5\pm\sqrt{1}}{4}}\\ \\ &=\displaystyle{\frac{-5\pm1}{4}}\\ \\ x=-\frac{3}{2} \quad &\text{tai} \quad x=-1 \end{alignat}\)
Toteuttavat määrittelyehdon.
Vastaus: \(x=-\frac{3}{2} \quad \text{tai} \quad x=-1\)
Esim. 3
Määritä rationaalifunktion \(\displaystyle{f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}}\) nollakohdat.
Määrittelyehto:
Nimittäjän nollakohdat
\(\begin{alignat}{3} x^2-4&=0 \quad \mid +4\\ x^2&=4 \quad \mid\ \sqrt{\ }\\ x&=\pm2 \end{alignat}\)
Rationaalifunktio \(f\) on määritelty, kun \(x\neq-2\) ja \(x\neq2\).
Funktion \(f\) nollakohdat
\(\begin{alignat}{3} f(x)&=0\\ \\ \displaystyle{\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}}&=0 &\mid \cdot\ (x^2-4)\\ \\ x^2+2x+1&=0\\ \\ x&=\displaystyle{\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}}\\ \\ &=\displaystyle{\frac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}}\\ \\ &=\displaystyle{\frac{-2\pm\sqrt{0}}{2}}\\ \\ &=\displaystyle{\frac{-2}{2}}\\ \\ x&=-1 \end{alignat}\)
Toteuttaa määrittelyehdon.
Vastaus: \(x=-1\)
7 JUURIFUNKTIO
7.1 Juurifunktio
Juurifunktio on muotoa:
$$f(x)=\sqrt[n]{x},$$ missä \(n\) on positiivinen kokonaisluku.
Lukua \(n\) nimitetään juuren kertaluvuksi.
Juurifunktion kuvaaja:
(1) Jos \(n\) on pariton, niin
- funktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, \(x\in\mathbb{R}\)
- funktion arvo voi olla mikä tahansa reaaliluku, \(f(x)\in\mathbb{R}\)
(2) Jos \(n\) on parillinen, niin
- funktio on määritelty vain epänegatiivisilla reaaliluvuilla, \(x\ge0\)
- funktion arvo voi olla vain epänegatiivinen reaaliluku, \(f(x)\ge0\)
Edellä mainitut ominaisuudet ovat seurausta yleisen juuren määritelmästä.
Esim. 1
Määritä funktion määrittelyehto ja laske arvo, kun \(x=-1\).
a) \(f(x)=\sqrt[3]{-10-2x}\)
b) \(f(x)=\sqrt{12+3x}\)
c) \(f(x)=\sqrt[5]{\frac{3x}{x-2}}\)
d) \(f(x)=\sqrt[4]{\frac{8x^2-24x}{2}}\)
Huom.
Juurifunktioiden lausekkeiden sieventäminen CAS-laskimilla onnistuu vaihtelevasti. Kynällä ja paperilla sieventämisessä voidaan hyödyntää juurten laskusääntöjä ja muistikaavoja.
7.2 Neliöjuuriyhtälö
Neliöjuuriyhtälö ratkaistaan korottamalla yhtälö puolittain toiseen potenssiin.
- Potenssiin korottamalla saadun yhtälön ratkaisut eivät välttämättä ole samat kuin alkuperäisen yhtälön.
- Ratkaisut on tarkistettava sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön.
Esim. 1
Ratkaise yhtälö.
a) \(\sqrt{x+4}-x=2\)
b) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{2x-3}\)
7.3 Yleinen juuriyhtälö
Yleinen juuriyhtälö ratkaistaan korottamalla yhtälö puolittain juuren kertalukua vastaavaan potenssiin.
(1) Parittomat juuriyhtälöt
- Potenssiin korottamalla saadun yhtälön ratkaisut ovat samat kuin alkuperäisen yhtälön.
- Ratkaisuja ei tarvitse tarkistaa.
(2) Parilliset juuriyhtälöt
- Potenssiin korottamalla saadun yhtälön ratkaisut eivät välttämättä ole samat kuin alkuperäisen yhtälön.
- Ratkaisut on tarkistettava sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön.
Huom.
Ratkaise yhtälö.
a) \(\sqrt[3]{2x^2-8}-4\)
b) \(\sqrt[4]{2x+2}=\sqrt[4]{x^2-1}\)
Huom.
Jos yhtälö sisältää eri kertalukujen juuria, ratkaisut on tarkistettava, mikäli yhtälössä on parillisia juuria.