mikkoheino.fi

a) Taulukoidaan vastinsivut:

b) Monikulmioiden mittakaava saadaan vastinsivujen pituuksien suhteena. Valitaan yksi pari vastinsivuja ja määritetään niiden suhde.

\(3:6=\frac{3}{6}^{(3}=\frac{1}{2}=1:2\)

Vastaus: Mittakaava on \(1:2\).

c) Tapa 1:

Mittakaava ilmaisee, että kolmion \(ABC\) sivujen pituudet ovat puolet kolmion \(DEF\) sivujen pituuksista.

$$a=\frac{1}{2}\cdot 4{,}5\ \text{cm}=2{,}25\ \text{cm}\approx2{,}3\ \text{cm}$$

Tapa 2:

Koska vastinsivujen suhteet ovat samat, voidaan hyödyntää verrantoa.

$$ \begin{align} \frac{a}{3\ \text{cm}}&=\frac{4{,}5\ \cancel{\text{cm}}}{6\ \cancel{\text{cm}}}\\ 6a&=4{,}5 \cdot 3\ \text{cm}\\ a&=\frac{4{,}5 \cdot 3\ \text{cm}}{6}=2{,}25\ \text{cm}\approx2{,}3\ \text{cm} \end{align} $$

Vastaus: Sivun \(a\) pituus on noin \(2{,}3\ \text{cm}\).

Piirretään mallikuva. Merkitään puun korkeus \(x\).

Puun ja kepin oletetaan olevan kohtisuorassa maata vastaan (suorakulma).

Kaukaisesta pistemäisestä kohteesta saapuvien valonsäteiden oletaan kulkevan yhdensuuntaisina. Siten puun ja kepin ylittävien valonsäteiden ja maan väliset kulmat ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret.

Koska kuvan suorakulmaisissa kolmioissa on kaksi yhtä suurta kulmaa, ovat kolmiot kk-lauseen perusteella yhdenmuotoiset.

Yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinsivujen suhteet ovat yhtä suuret.

Muutetaan \(70\ \text{cm}=0{,}7\ \text{m}\).

Kirjoitetaan verrantoyhtälö.

$$ \begin{align} \frac{x}{15\ \text{m}}&=\frac{0{,}7\ \cancel{\text{m}}}{1{,}2\ \cancel{\text{m}}}\\ 1{,}2x&=0{,}7 \cdot 15\ \text{m}\\ x&=\frac{0{,}7 \cdot 15\ \text{m}}{1{,}2}=8{,}75\ \text{m}\approx8{,}8\ \text{m} \end{align} $$

Vastaus: Puun korkeus on noin \(8{,}8\ \text{m}\).

\(k=3:2\)

\(k^{2}=(3:2)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}\)

Suuremman kolmion pinta-ala:

$$\frac{9}{4}\cdot12\ \text{m}^2=\frac{108\ \text{m}^2}{4}=27\ \text{m}^2 $$

Vastaus: \(27\ \text{m}^2\)

a) Tutkitaan kolmion suorakulmaisuus Pythagoraan lauseen avulla.

$$\begin{align} 4^{2}+7^{2}&=8^{2} \\ 16+49&=64 \\ 65&=64\ \text{(epätosi)} \end{align}$$

Vastaus: Kolmio ei ole suorakulmainen.

b) A-kohdan perusteella \(65>64\) eli Pythagoraan lauseen hypotenuusan pituuden neliötä vastaava lukuarvo on pienempi ja näin ollen lyhyempien sivujen välinen kulma on alle \(90^{\circ}\).

Vastaus: Lyhyempien sivujen välinen kulma on alle \(90^{\circ}\).

Lasketaan Pythagoraan lauseen avulla pidemmän kateetin pituus.

$$\begin{eqnarray} 5{,}0^{2}+x^{2}&=&10{,}0^{2}&\quad ||&-5{,}0^{2} \\ x^{2}&=&10{,}0^{2}-5{,}0^{2}&& \\ x^{2}&=&100{,}0-25{,}0&& \\ x^{2}&=&75{,}0&\quad ||&\sqrt{} \\ x&=&\pm \sqrt{75{,}0}&& \end{eqnarray}$$

Kateetin pituus on lukuarvoltaan aina positiivinen, joten negatiivinen arvo voidaan hylätä.

Lasketaan kolmion pinta-ala.

$$A=\frac{5{,}0\cdot \sqrt{75{,}0}}{2} \approx21{,}6506\approx 21{,}7$$

Vastaus: Kolmion pinta-ala on \(21{,}7\ \text{cm}^{2}\).

Tunnistetaan sopiva trigonometrinen funktio, kirjoitetaan yhtälö ja ratkaistaan se.

\(\begin{align} \cos40^{\circ}&=\frac{6{,}0\ \text{cm}}{x}\quad\mid \cdot\, x \\ \\ x\cos40^{\circ}&=6{,}0\ \text{cm}\quad\ \, \mid\, :\cos40^{\circ} \\ \\ x&=\frac{6{,}0\ \text{cm}}{\cos40^{\circ}}\\ \\ &=7{,}832\ldots\ \text{cm}\\ \\ &\approx7{,}8\ \text{cm} \end{align}\)

Vastaus: \(7{,}8\ \text{cm}\).

Tunnistetaan sopiva trigonometrinen funktio, kirjoitetaan yhtälö ja ratkaistaan se.

\(\begin{align} \sin\alpha&=\frac{5{,}0\ \text{cm}}{8{,}0\ \text{cm}}\quad\mid\arcsin \\ \\ \alpha&=38{,}682\ldots^{\circ} \\ \\ &\approx38{,}7^{\circ} \end{align}\)

Vastaus: \(38{,}7^{\circ}\).

b) Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alan lausekkeesta ja ratkaistaan.

\(\begin{align} A&=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\\ \\ 9&=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5\sin\alpha\\ \\ \sin\alpha&=\frac{9}{\frac{1}{2}\cdot4\cdot5}\\ \\ \alpha&\approx65^{\circ}\quad\text{tai}\quad\alpha\approx180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ} \end{align}\)

Vastaus: \(\alpha\approx65^{\circ}\quad\text{tai}\quad\alpha\approx115^{\circ}\).

Lasketaan kolmannen kulman suuruus ja hahmotellaan mallikolmio.

\(180^{\circ}-(26^{\circ}+78^{\circ})\)

\(=180^{\circ}-104^{\circ}\)

\(=76^{\circ}\)

On siis laskettava \(78^{\circ}\):een kulmaa vastapäätä sijaitsevan sivun pituus.

Sinilause:

\(\begin{align} \frac{x}{\sin78^{\circ}}&=\frac{7{,}5\ \text{cm}}{\sin26^{\circ}}\\ \\ x\cdot\sin26^{\circ}&=7{,}5\ \text{cm}\cdot\sin78^{\circ} \quad \mid\, :\sin26^{\circ}\\ \\ x&=\frac{7{,}5\ \text{cm}\cdot\sin78^{\circ}}{\sin26^{\circ}}\\ \\ &=16{,}734\ldots\ \text{cm}\\ \\ &\approx16{,}7\ \text{cm} \end{align}\)

Vastaus: \(16{,}7\ \text{cm}\).

Hahmotellaan mallikolmio. Havaitaan, että annettuja tietoja vastaa kaksi mahdollista kolmiota. Merkitään kulmia \(\alpha\) ja \(\alpha'\) sekä \(\beta\) ja \(\beta'\).

Ratkaistaan sinilauseen avulla \(\alpha\) ja \(\alpha'\):

\(\begin{align} \frac{4{,}7\ \text{cm}}{\sin\alpha}&=\frac{3{,}6\ \text{cm}}{\sin32^{\circ}}\\ \\ 3{,}6\ \text{cm}\cdot\sin\alpha&=4{,}7\ \text{cm}\cdot\sin32^{\circ} \quad \mid\, :3{,}6\ \text{cm}\\ \\ \sin\alpha&=\frac{4{,}7\ \text{cm}\cdot\sin32^{\circ}}{3{,}6\ \text{cm}}\ \ \mid\arcsin\\ \\ \alpha&=43{,}775\ldots^{\circ}\\ \\ &\approx44^{\circ} \end{align}\)

tai suplementtikulma

\(\alpha'=180^{\circ}-44^{\circ}=136^{\circ}.\)

Lasketaan kolmannen kulman suuruus:

\(\begin{align} \beta&=180^{\circ}-(32^{\circ}+44^{\circ})\\ \\ &=180^{\circ}-76^{\circ}\\ \\ &=104^{\circ} \end{align}\)

tai

\(\begin{align} \beta'&=180^{\circ}-(32^{\circ}+136^{\circ})\\ \\ &=180^{\circ}-168^{\circ}\\ \\ &=12^{\circ}. \end{align}\)

Vastaus: Kaksi muuta kulmaa ovat \(44^{\circ}\) ja \(104^{\circ}\) tai \(136^{\circ}\) ja \(12^{\circ}\).

Pienin kulma on lyhintä sivua vastapäätä.

\(\begin{align} c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\\ \\ 4{,}0^{2}&=5{,}0^{2}+6{,}0^{2}-2\cdot5{,}0\cdot6{,}0\cos\gamma\\ \\ 2\cdot5{,}0\cdot6{,}0\cos\gamma&=5{,}0^{2}+6{,}0^{2}-4{,}0^{2}\\ \\ \cos\gamma&=\frac{5{,}0^{2}+6{,}0^{2}-4{,}0^{2}}{2\cdot5{,}0\cdot6{,}0}\\ \\ \gamma&=41{,}409\ldots^{\circ}\approx41{,}4^{\circ} \end{align}\)

Vastaus: \(41{,}4^{\circ}\).

a) Voidaan ratkaista käsin tai CAS-laskimella.

\(\begin{align} c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\\ \\ c^{2}&=4{,}0^{2}+6{,}0^{2}-2\cdot4{,}0\cdot6{,}0\cos27^{\circ}\\ \\ c&=\pm\sqrt{4{,}0^{2}+6{,}0^{2}-2\cdot4{,}0\cdot6{,}0\cos27^{\circ}}\\ \\ c&=\pm3{,}038\ldots\approx\pm3{,}0 \end{align}\)

Pituus on positiivista.

Vastaus: \(3{,}0\ \text{cm}\).

b) Voidaan ratkaista vain CAS-laskimella ennen MAA2:a.

\(\begin{align} c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\\ \\ 6{,}0^{2}&=4{,}0^{2}+b^{2}-2\cdot4{,}0b\cos27^{\circ}\quad\mid\,\text{CAS-laskin}\\ \\ b&=-2{,}154\ldots\quad\text{tai}\quad b=9{,}282\ldots \end{align}\)

Pituus on positiivista.

Vastaus: \(9{,}3\ \text{cm}\).

c) Voidaan ratkaista vain CAS-laskimella ennen MAA2:a.

\(\begin{align} c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\\ \\ 4{,}0^{2}&=6{,}0^{2}+b^{2}-2\cdot6{,}0b\cos27^{\circ}\quad\mid\,\text{CAS-laskin}\\ \\ b&=2{,}416\ldots\quad\text{tai}\quad b=8{,}275\ldots \end{align}\)

Vastaus: \(2{,}4\ \text{cm}\) tai \(8{,}3\ \text{cm}\).

Segmentin pinta-ala on \(A_{\text{segmentti}}=A_{\text{sektori}}-A_{\text{kolmio}}\).

Lasketaan ensin ympyrän säde.

$$ \begin{aligned} p&=2\pi r\\ 20,0\ \text{cm}&=2\pi r\\ r&=\frac{20{,}0\ \text{cm}}{2\pi}=\frac{10{,}0}{\pi}\ \text{cm}\\ \end{aligned} $$

Lasketaan sitten sektorin pinta-ala.

$$ \begin{aligned} A_{\text{sektori}}&=\frac{\alpha}{360^{\circ}}\cdot \pi r^{2}\\ &=\frac{10^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot \pi \cdot \left(\frac{10{,}0}{\pi}\ \text{cm}\right)^{2}=\frac{25}{9\pi}\ \text{cm}^{2}\\ \end{aligned} $$

Lasketaan seuraavaksi pinta-ala sellaiselle tasakylkiselle kolmiolle, jonka kyljet ovat säteen mittaisia ja kylkien välinen kulma on \(10^{\circ}\).

$$ \begin{aligned} A_{\text{kolmio}}&=\frac{1}{2}ab\sin\beta\\ &=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{10{,}0}{\pi}\ \text{cm}\right)^{2}\cdot\sin10^{\circ}=\frac{50\sin10^{\circ}}{\pi^{2}}\ \text{cm}^{2}\\ \end{aligned} $$

Lasketaan lopuksi segmentin pinta-ala vähentämällä sektorin pinta-alasta kolmion pinta-ala.

$$ \begin{aligned} A_{\text{segmentti}}&=A_{\text{sektori}}-A_{\text{kolmio}}\\ &=\frac{25}{9\pi}\ \text{cm}^{2}- \frac{50\sin10^{\circ}}{\pi^{2}}\ \text{cm}^{2}\\ &=0{,}004482\ \text{cm}^{2}\approx0{,}4\ \text{mm}^{2}\\ \end{aligned} $$

Vastaus: Segmentin pinta-ala on noin \(0{,}4\ \text{mm}^{2}\).

a) Tilavuus:

\(\begin{align} V_{\text{SUORAK. SÄRMIÖ}}&=abc\\ \\ &=6\ \text{cm}\cdot4\ \text{cm}\cdot3\ \text{cm}\\ \\ &=72\ \text{cm}^{3} \end{align}\)

b) Pinta-ala:

\(\begin{align} &A_{\text{SUORAK. SÄRMIÖ}}\\ \\ &=2ab+2bc+2ac\\ \\ &=2\cdot6\ \text{cm}\cdot4\ \text{cm}+2\cdot4\ \text{cm}\cdot3\ \text{cm}+2\cdot6\ \text{cm}\cdot3\ \text{cm}\\ \\ &=48\ \text{cm}^{2}+24\ \text{cm}^{2}+36\ \text{cm}^{2}\\ \\ &=108\ \text{cm}^{2} \end{align}\)

c) Merkitään pohjan lävistäjää \(x\). Ratkaistaan pohjan lävistäjä pythagoraan lauseella.

$$x^{2}=a^{2}+b^{2}\quad\mid\sqrt{\ }$$

Pohjan lävistäjä:

$$x=\pm\sqrt{a^2+b^2}$$

d) Ratkaistaan avaruuslävistäjä \(d\) pythagoraan lauseella kolmessa ulottuvuudessa.

$$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\quad\mid\sqrt{\ }$$

Avaruuslävistäjä:

$$d=\pm\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Kuution särmä, tahkon lävistäjä ja avaruuslävistäjä rajaavat suorakulmaisen kolmion, jonka kateetteina toimivat särmä ja tahkon lävistäjä.

Pohjan lävistäjän pituus \(x\) voidaan ratkaista yhtälöstä:

\(\begin{align} a^{2}+b^{2}&=c^{2}\quad\mid a=1, b=1, c=x\\ \\ 1^{2}+1^{2}&=x^{2}\quad\mid\sqrt{\ }\\ \\ x&=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \end{align}\)

Tahkon lävistäjän ja avaruuslävistäjän välinen kulma \(\alpha\) voidaan ratkaista yhtälöstä:

\(\begin{align} \tan\alpha&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \alpha&=35{,}264\ldots^{\circ}\approx35{,}3^{\circ} \end{align}\)

Vastaus: \(35{,}3^{\circ}\)

Lasketaan ensin lieriön korkeus.

$$ \begin{aligned} V_{\text{lieriö}}&=A_{\text{pohja}}h\quad||:A_{\text{pohja}} \\ h&=\frac{V_{\text{lieriö}}}{A_{\text{pohja}}}\\ h&=\frac{240\ \text{cm}^3}{60\ \text{cm}^2}=4\ \text{cm}\\ \end{aligned} $$

Lasketaan sitten pohjaympyrän säde.

$$ \begin{aligned} A_{\text{pohja}}&=\pi r^{2}\quad\quad\ \ ||:\pi \\ r^{2}&=\frac{A_{\text{pohja}}}{\pi}\quad||\sqrt{}\\ r&=\pm\sqrt{\frac{A_{\text{pohja}}}{\pi}}\\ r&=\pm\sqrt{\frac{60\ \text{cm}^2}{\pi}}\\ \end{aligned} $$

Säteen lukuarvo on positiivinen.

Lasketaan lopuksi vaipan pinta-ala.

$$ \begin{aligned} A_{\text{vaippa}}&=2\pi rh\\ &=2\pi\sqrt{\frac{60\ \text{cm}^2}{\pi}}\cdot 4\ \text{cm}\\ &=109{,}83\ \text{cm}^2\approx 110\ \text{cm}^2\\ \end{aligned} $$

Vastaus: Vaipan pinta-ala on noin \(110\ \text{cm}^2\).

Lasketaan pohjaympyrän säde:

\(\begin{align} r&=\dfrac{d}{2}\\ &=\dfrac{10\ \text{cm}}{2}\\ &=5\ \text{cm} \end{align}\)

Lasketaan kartion tilavuus:

\(\begin{align} V_{\text{kartio}}&=\dfrac{1}{3}A_{\text{pohja}}h \quad\mid A_{\text{pohja}}=\pi r^{2}\\ &=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h\quad\quad\mid r=5\ \text{cm}, h=20\ \text{cm}\\ &=\dfrac{1}{3}\pi (5\ \text{cm})^{2}\cdot20\ \text{cm}\\ &=\dfrac{500\pi}{3}\pi\ \text{cm}^{3}\\ &=523{,}59\ldots\ \text{cm}^{3}\\ &\approx520\ \text{cm}^{3} \end{align}\)

Kartion pinta-alan laskemiseksi on ratkaistava kartion sivujanan \(s\) pituus.

\(\begin{align} a^{2}+b^{2}&=c^{2}\quad\quad\mid a=r=5\ \text{cm}, b=h=20\ \text{cm}, c=s\\ (5\ \text{cm})^{2}+(20\ \text{cm})^{2}&=s^{2}\quad\quad\mid \sqrt{\ }\\ s&=\pm\sqrt{(5\ \text{cm})^{2}+(20\ \text{cm})^{2}}\\ s&=\pm\sqrt{425\ \text{cm}^{2}}\\ s&=\pm\sqrt{425}\ \text{cm} \end{align}\)

Pituus on positiivista.

Kartion pinta-ala:

\(\begin{align} A_{\text{kartio}}&=A_{\text{pohja}}+A_{\text{vaippa}}\\ &=\pi r^{2}+\pi r s \quad\quad\mid r=5\ \text{cm}, s=\sqrt{425}\ \text{cm}\\ &=\pi \cdot(5\ \text{cm})^{2}+\pi \cdot5\ \text{cm}\cdot\sqrt{425}\ \text{cm}\\ &=402{,}36\ldots\ \text{cm}^{2}\\ &\approx400\ \text{cm}^{2}\\ \end{align}\)

Vastaus: Tilavuus on \(520\ \text{cm}^{3}\) ja pinta-ala \(400\ \text{cm}^{2}\).

Mallikuva (poikkileikkaus):

Kuvan tasakylkiset kolmiot ovat yhdenmuotoisia (kk-lause).

Korkeus \(h\) voidaan ratkaista verrantoyhtälöstä:

\(\begin{align} \dfrac{h}{h-7{,}0\ \text{cm}}&=\dfrac{6{,}5\ \text{cm}}{5{,}0\ \text{cm}}\\ h\cdot5{,}0\ \text{cm}&=(h-7{,}0\ \text{cm})\cdot6{,}5\ \text{cm}\\ h\cdot5{,}0\ \text{cm}&=h\cdot6{,}5\ \text{cm}-7{,}0\ \text{cm}\cdot6{,}5\ \text{cm}\\ h\cdot5{,}0\ \text{cm}-h\cdot6{,}5\ \text{cm}&=-45{,}5\ \text{cm}^{2}\\ -h\cdot1{,}5\ \text{cm}&=-45{,}5\ \text{cm}^{2}\\ h&=\dfrac{-45{,}5\ \text{cm}^{2}}{-1{,}5\ \text{cm}}=\dfrac{45{,}5}{1{,}5}\ \text{cm} \end{align}\)

Pohjaympyröiden (eli kannen ja pohjan) säteet:

\(\begin{align} r_1&=\dfrac{d_1}{2}=\dfrac{6{,}5\ \text{cm}}{2}=3{,}25\ \text{cm}\\ \\ r_2&=\dfrac{d_2}{2}=\dfrac{5{,}0\ \text{cm}}{2}=2{,}5\ \text{cm} \end{align}\)

Jogurttipikarin tilavuus:

\(\begin{align} V&=V_{1}-V_{2}\\ &=\dfrac{1}{3}\pi r_{1}^{2}h-\dfrac{1}{3}\pi r_{2}^{2}(h-7{,}0\ \text{cm})\\ &=\dfrac{1}{3}\pi (3{,}25\ \text{cm})^{2}h-\dfrac{1}{3}\pi (2{,}5\ \text{cm})^{2}\left(\dfrac{45{,}5}{1{,}5}\ \text{cm}-7{,}0\ \text{cm}\right)\\ &=182{,}801\ldots\ \text{cm}^{3}\approx180\ \text{cm}^{3}=180\ \text{ml}=1{,}8\ \text{dl} \end{align}\)

Vastaus: Jogurttipikarin tilavuus on noin 1,8 dl.

Mallikuva (poikkileikkaus):

Ratkaistaan pallon säde \(r\) Pythagoraan lauseen avulla:

\(\begin{align} a^{2}+b^{2}&=c^{2}\\ (r-52\ \text{m})^{2}+\left(\dfrac{365\ \text{m}}{2}\right)^{2}&=r^{2} \quad\mid\text{CAS-laskin}\\ r&=346{,}25\ldots\ \text{m} \end{align}\)

Lasketaan tilavuus pallosegmentin tilavuuden kaavalla:

\(\begin{align} V&=\pi h^{2}\left(r-\dfrac{h}{3}\right)\\ &=\pi(52\ \text{m})^{2}\left(346{,}25\ldots\ \text{m}-\dfrac{52\ \text{m}}{3}\right)\\ &=2\ 794\ 103{,}18\ldots\ \text{m}^{3}\\ &\approx2\ 800\ 000\ \text{m}^{3} \end{align}\)

Vastaus: Rakennelman tilavuus on noin \(2\ 800\ 000\ \text{m}^{3}\).

Tulossa myöhemmin.