Integraalilaskenta (MAA7)
Laajuus
2 op
Yleiset tavoitteet (LOPS 2021)
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään yksinkertaisten funktioiden integraalifunktioita
- ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan sekä tutustuu numeeriseen menetelmään määrätyn integraalin määrittämisessä
- osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
- perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
- osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa, integraalifunktion määrittämisessä, määrätyn integraalin laskemisessa sovellusten yhteydessä sekä numeerisessa integroinnissa.
Keskeiset sisällöt (LOPS 2021)
- integraalifunktio ja tärkeimpien alkeisfunktioiden integrointi
- määrätty integraali
- suorakaidesääntö
- pinta-alan ja tilavuuden laskeminen
Aikataulu
Jaksosuunnitelma lv. 2023-2024
Suoritus
- osallistuminen
- tehtävien tekeminen
- monivalintatehtävien tekeminen
- loppukoe
Arviointi
- säännöllinen, aktiivinen ja vastuullinen osallistuminen +1 p
- tehtävien asianmukainen ja jatkuva tekeminen +1 p
- monivalintatehtävistä +1 p kustakin täysin oikein tehdystä monivalintatehtävästä, yht. max. 5 p
- loppukokeesta max. 55 p
- max. 60 p (teoreettisesti 62 p)
- 30 % arviointi
| Pisteet | Arvosana | Muuta |
|---|---|---|
| 0 - 9 | K | Välitesti ja päättökoe pakko uusia. |
| 10 - 17 | 4 / i | Oikeus uusia päättökoe. |
| 18 - 25 | 5 | |
| 26 - 33 | 6 | |
| 34 - 41 | 7 | |
| 42 - 49 | 8 | |
| 50 - 57 | 9 | |
| 58 - 60 | 10 |
1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI
1.1 Pinta-ala
Koordinaatiston I neljänneksessä kulkevan käyrän ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa voidaan approksimoida suorakulmioiden pinta-alojen avulla.
Suorakaidesääntö
Olkoon \(f(x)\geq0\) kaikilla \(a\leq x\leq b\). Funktion \(f\) ja x-akselin välillä \(\left[a,b\right]\) rajaaman alueen pinta-alaa \(A\) voidaan approksimoida $$A\approx d\cdot \left(f(x_1)+f(x_2)+\ldots+f(x_n)\right),$$ missä
- \(n\) on osavälien lukumäärä,
- \(d=\frac{b-a}{n}\) on osavälin pituus,
- \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) ovat kohdat, joissa suorakulmion korkeus määritetään.
1.2 Määritelmä
2 INTEGRAALIFUNKTIO
2.1 Määritelmä
2.2 Polynomifunktion integrointi
2.3 Analyysin peruslause
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\bigg/_{\!\!\!\!a}^b F(x)=F(b)-F(a)$$
3 INTEGROINTISÄÄNTÖJÄ
3.1 Potenssifunktio
$$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
3.2 Yhdistetty funktio
$$\int s'(x)\cdot u'\left(s(x)\right)dx=u(s(x))+C$$
3.3 Eksponenttifunktio \(e^{x}\)
$$\int e^x dx=e^x+C$$
3.4 Trigonometriset funktiot
$$\int \cos x\ dx=\sin x +C$$
$$\int \sin x\ dx=-\cos x +C$$
3.5 Osamäärä
Funktion \(\frac{1}{x}\) integrointi
Oletetaan, että \(x<0\) tai \(x>0\). Tällöin $$\int \frac{1}{x} dx=\ln \mid x \mid +C.$$
Funktion \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) integrointi
Oletetaan, että välillä \(I\) funktio \(f\) on derivoituva ja \(f(x)\neq0\).
Tällöin $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln \left| f(x) \right| +C,$$ kun \(x\in I\).
4 PINTA-ALAN LASKEMINEN
4.1 Käyrän ja x-akselin väli
Käyrän ja x-akselin välisen alueen pinta-alan laskeminen
Olkoon funktio \(f(x)\) jatkuva välillä \(\left[a,b\right]\).
- Jos \(f(x)\geq0\) välillä \(\left[a,b\right]\), niin $$A=\int_a^b f(x)\ dx.$$
- Jos \(f(x)\leq0\) välillä \(\left[a,b\right]\), niin $$A=-\int_a^b f(x)\ dx.$$
4.2 Käyrän ja y-akselin väli
Käyrän ja y-akselin välisen alueen pinta-alan laskeminen
Olkoon funktio \(f(y)\) jatkuva välillä \(\left[a,b\right]\).
- Jos \(f(y)\geq0\) välillä \(\left[a,b\right]\), niin $$A=\int_a^b f(y)\ dy.$$
- Jos \(f(y)\leq0\) välillä \(\left[a,b\right]\), niin $$A=-\int_a^b f(y)\ dy.$$
Huom.
Yhtälöt on ratkaistava muuttujan \(x\) suhteen eli yhtälöiden on oltava muotoa \(x=f(y)\), ja integroinnit on suoritettava muuttujan \(y\) suhteen.
4.3 Sovelluksia
4.4 Kahden käyrän väli
Kahden käyrän välisen alueen pinta-alan laskeminen
Olkoot funktiot \(f(x)\) ja \(g(x)\) jatkuvia välillä \(\left[a,b\right]\). Jos \(f(x)\geq g(x)\), niin $$A=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\ dx.$$