Talousmatematiikka (MAA9)
Laajuus
1 op
Yleiset tavoitteet (LOPS 2021)
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
- soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
- oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden rajoitukset
- osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt (LOPS 2021)
- aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
- korkolaskut: koron korko, nykyarvo ja diskonttaus
- talletukset ja lainat
- taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja ja summia
Aikataulu
Suoritus
- osallistuminen
- tehtävien tekeminen
- monivalintatehtävien tekeminen
- loppukoe
Arviointi
- säännöllinen, aktiivinen ja vastuullinen osallistuminen +1 p
- tehtävien asianmukainen ja jatkuva tekeminen +1 p
- monivalintatehtävistä +1 p kustakin tehdystä monivalintakokonaisuudesta, saavutettava tavoitetaso 80 %, yht. max. 3 p
- loppukokeesta max. 36 p
- max. 40 p (teoreettisesti 41 p)
- 30 % arviointi
| Pisteet | Arvosana | Muuta |
|---|---|---|
| 0 - 6 | i \(\rightarrow\) K | Pakko täydentää. |
| 7 - 11 | i \(\rightarrow\) 4 | Oikeus täydentää. |
| 12 - 17 | 5 | |
| 18 - 23 | 6 | |
| 24 - 29 | 7 | |
| 30 - 35 | 8 | |
| 36 - 38 | 9 | |
| 39 - 40 | 10 |
Keskeyttäminen
Opettaja keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos
- opiskelija niin pyytää
- opiskelija ei ole läsnä opintojakson kahdella ensimmäisellä opetuskerralla ja opiskelija ei ole yhteydessä opettajaan eikä opettaja saa yhteyttä opiskelijaan.
Opettaja voi keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos opiskelijalla on viisi poissaoloa. Tällaiset tilanteet opettaja käy läpi tapauskohtaisesti ja on ennen lopullista keskeytystä yhteydessä opiskelijaan.
Keskeyttämisestä opettaja merkitsee opintojaksosta opiskelijalle K-merkinnän Wilmaan ja poistaa opiskelijan sen jälkeen Wilman ryhmästä. Opettaja lähettää keskeyttämisestä viestin opiskelijalle, alaikäisen opiskelijan huoltajalle, ryhmänohjaajalle ja opolle.
1 LUKUJONO
1.1 Lukujono
Lukujono on järjestetty kokoelma lukuja. Sama luku voi esiintyä jonossa määräämättömän monta kertaa.
Esim. 1
Lukujonot \(1,2,3,4\) ja \(4,3,2,1\) eivät ole sama lukujono, koska jonojen jäsenten järjestys ei ole sama.
Lukujono voi olla päättyvä, jolloin jonon jäsenten määrä on äärellinen, tai päättymätön, jolloin taas jonon jäsenten määrä on ääretön.
Esim. 2
Lukujono \(1,3,5,7\) on päättyvä.
Lukujono \(1,3,5,\ldots\) on päättymätön.
Merkintöjä
Lukujono merkitään \((a_{n})\).
Jonon jäseniä merkitään \(a_{1},a_{2},a_{3},\dots\) . Indeksointi alkaa yleensä ykkösestä.
Jonon \(n\):s jäsen merkitään \(a_n\). Merkinnällä voidaan viitata myös \(n\):nnen jäsenen lausekkeeseen.
Lukujono voidaan määritellä:
analyyttisesti antamalla jonon \(n\):nnen jäsenen lauseke
rekursiivisesti ilmoittamalla jonon ensimmäinen jäsen ja antamalla lauseke seuraavan jäsenen laskemiseksi.
Esim. 3
Olkoon lukujono \((a_{n})\), missä \(n\):nnen jäsenen lauseke on \(a_{n}=n^{2}+1\) ja \(n=1,2,3,\ldots\) .
a) Määritä jonon kolme ensimmäistä jäsentä.
b) Määritä jonon sadas jäsen.
c) Onko luku \(145\) jonon jäsen? Jos on, monesko jäsen se on?
a) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat:
\(a_{1}=1^{2}+1=2\)
\(a_{2}=2^{2}+1=5\)
\(a_{3}=3^{2}+1=10\)
b) Jonon sadas jäsen on:
\(a_{100}=100^{2}+1=10\ 001\)
c) Luku \(145\) on jonon jäsen, jos on olemassa positiivinen kokonaisluku \(n\), jolla \(a_{n}=n^{2}+1=145\).
Ratkaistaan yhtälö \(n^{2}+1=145\) tuntemattoman \(n\) suhteen:
$$\begin{align}n^{2}+1&=145\quad\mid\ -1\\n^{2}&=144 \quad\mid\ \sqrt{\ }\\n=\pm12\end{align}$$
Luvun \(n\) on oltava positiivinen kokonaisluku. Siis \(n=12\).
Vastaus: Luku \(145\) on jonon \(12.\) jäsen.
Esim. 4
Olkoon lukujono \((a_{n})=\begin{cases}a_{1}=3&\\a_{n}=2a_{n-1}+1,&\text{kun}\ n=2,3,4,\ldots\end{cases}\).
Määritä lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä.
Jonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat:
\(a_{1}=3\)
\(a_{2}=2\cdot3+1=7\)
\(a_{3}=2\cdot7+1=15\)
\(a_{4}=2\cdot15+1=31\)
\(a_{5}=2\cdot31+1=63\)
Huom.
Funktio \(f\) voidaan määritellä myös lukujonona \(f(n)=a_{n}\), jolloin jonon jäsenten järjestysnumerot eli alaindeksit \(n=1,2,3\dots\) vastaavat muuttujan arvoja ja jonon jäsenet \(a_{n}\) vastaavia funktion arvoja.
1.2 Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono on jono, jonka seuraava jäsen saadaan edellisestä lisäämällä aina sama luku.
Esim. 1
\(1\overset{\overset{+3}{\curvearrowright}}{,\ \ 4}\overset{\overset{+3}{\curvearrowright}}{,\ \ 7}\overset{\overset{+3}{\curvearrowright}}{,\ 10},\ldots\) .
Määritelmä
Lukujono on aritmeettinen, jos sen peräkkäisten jäsenten erotus on vakio
$$d=a_{n}-a_{n-1} .$$ Vakiota \(d\) kutsutaan lukujonon erotusluvuksi.
Esim. 2
Olkoon jono \((a_{n})=1,4,7,10,\ldots\) .
Tällöin
\(4-1=3\)
\(7-4=3\)
\(10-7=3\)
\(\qquad\ \vdots\)
Aritmeettisen lukujonon jäsenet saadaan ensimmäisestä jäsenestä lisäämällä siihen erotusluvun \(d\) monikerta.
Aritmeettisen lukujonon yleisen (\(n\):nnen) jäsenen lauseke
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d .$$
Esim. 3
Olkoon lukujono \((a_{n})=38,34,30,\ldots\) .
a) Voiko jono olla aritmeettinen?
b) Jos jono olisi aritmeettinen, muodosta jonon yleisen jäsenen lauseke ja laske jonon \(20.\) jäsen.
c) Kuinka moni jonon jäsenistä on positiivisia?
a) Jono on aritmeettinen, jos peräkkäisten jäsenten erotus on vakio.
\(34-38=-4\)
\(30-34=-4\)
Vastaus: Annettujen peräkkäisten jäsenten erotus on aina \(d=-4\), joten jono voi olla aritmeettinen.
b) Jonon yleinen jäsen:
\(\begin{align}a_{n}&=a_{1}+(n-1)d\qquad\ \mid \text{sij.}\ a_{1}=38\ \text{ja}\ d=-4\\ &=38+(n-1)\cdot(-4)\\ &=38-4n+4\\ &=42-4n\end{align}\)
Jonon \(15.\) jäsen:
\(a_{15}=42-4\cdot15=-18\)
Vastaus: \(a_{n}=42-4n\) ja \(a_{15}=-18\)
c) Lukujonon jäsen on positiivinen, jos se on suurempi kuin 0. Saadaan epäyhtälö:
\(\begin{align}a_{n}&\gt 0\\ 42-4n&\gt 0\quad\quad\ \mid\ -42\\ -4n&\gt -42\quad\mid\ :(-4)\\ n&\lt 10{,}5\end{align}\)
Suurin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa epäyhtälön on \(10\). Jonon kymmenen ensimmäistä jäsentä ovat siis positiivisia.
Vastaus: \(10\) jäsenistä on positiivisia.
Esim. 4
Olkoon jono \((a_{n})\), missä \(a_{n}=5n-2\). Osoita, että jono on aritmeettinen.
1.3 Aritmeettinen summa
Aritmeettinen summa on aritmeettisen lukujonon peräkkäisten jäsenten yhteenlaskun tulos.
Esim. 1
Lukujonon \(1,4,7,10, \ldots\) neljän ensimmäisen jäsenen summa on \(1+4+7+10=22\).
Merkintä
Aritmeettisen lukujonon \(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots\) \(n\):n ensimmäisen jäsenen summa merkitään $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n} .$$
Aritmeettisen lukujonon \(n\):n peräkkäisen jäsenen summa voidaan laskea luvun \(n\) sekä ensimmäisen ja viimeisen huomioitavan jäsenen keskiarvon tulona.
$$S_{n}=n\cdot\frac{a_{1}+a_{n}}{2}$$
Huom.
Pitkiä summalausekkeita voidaan lyhentää summamerkinnän avulla.
$$\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}$$
Merkintä luetaan ''summa \(k\) käy yhdestä \(n\):ään''. Merkintä tarkoittaa, että lasketaan yhteen jonon \(a_{n}\) jäseniä. Summamerkin alapuolelta luetaan, mistä jäsenestä aloitetaan, ja yläpuolelta, mihin lopetetaan.
Esim. 2
Tulkitse summamerkintä \(\displaystyle{\sum_{k=2}^{5}(2k+1)}\).
Esim. 3
Olkoon aritmeettinen jono \((a_{n})\), missä \(a_{n}=5n-2\).
Laske
a) \(S_{10}\)
b) \(\displaystyle{\sum_{k=5}^{30}(a_{n})}\)
Esim. 4
Laske aritmeettinen summa \(23+26+29+\ldots+122\).
1.4 Geometrinen lukujono
Geometrinen lukujono on jono, jonka seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla aina samalla luvulla.
Esim. 1
\(1\overset{\overset{\cdot3}{\curvearrowright}}{,\ \ 3}\overset{\overset{\cdot3}{\curvearrowright}}{,\ \ 9}\overset{\overset{\cdot3}{\curvearrowright}}{,\ 27},\ldots\) .
Määritelmä
Lukujono on geometrinen, jos sen peräkkäisten jäsenten osamäärä eli suhde on vakio
$$q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}} .$$ Vakiota \(q\) kutsutaan lukujonon suhdeluvuksi.
Huom.
Erityistapaus, jossa \(a_{1}\) on mikä tahansa reaaliluku, voi olla myös nolla, ja \(q=0\), tuottaa jonon \(a_{1},0,0,\ldots\) .
Esim. 2
Olkoon jono \((a_{n})=5,10,20,40,\ldots\) .
Tällöin
\(\frac{10}{5}=2\)
\(\frac{20}{10}=2\)
\(\frac{40}{20}=2\)
\(\quad\ \ \vdots\)
Geometrisen lukujonon jäsenet saadaan ensimmäisestä jäsenestä kertomalla se suhdeluvun \(q\) potenssilla.
Geometrisen lukujonon yleisen (\(n\):nnen) jäsenen lauseke
$$a_{n}=a_{1}q^{n-1} .$$
Esim. 3
Olkoon geometrinen lukujono \((a_{n})=2,8,32,\ldots\) .
a) Määritä jonon yleisen jäsenen lauseke
b) Laske jonon \(10.\) jäsen.
a) Määritetään suhdeluku \(q\):
\(q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{8}{2}=4\)
Määritetään jonon yleinen jäsen:
\(\begin{align} a_{n}&=a_{1}q^{n-1}\qquad\ \ \mid\ \text{sij.}\ a_{1}=2\ \text{ja}\ q=4\\ &=2\cdot4^{n-1}\qquad\ \mid\ 4=2^2\\ &=2\cdot(2^2)^{n-1}\quad\mid\ (a^m)^n=a^{m\cdot n}\\ &=2\cdot 2^{2n-2}\quad\ \ \ \ \mid\ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\ &=2^{2n-1}\end{align}\)
Vastaus: Yleisen jäsenen lauseke on \(a_{n}=2^{2n-1}\).
b) Jonon \(10.\) jäsen:
\(a_{10}=2^{2\cdot10-1}=2^{19}=524\ 288\)
Vastaus: \(a_{10}=524\ 288\).
1.5 Geometrinen summa
Geometrinen summa on geometrisen lukujonon peräkkäisten jäsenten yhteenlaskun tulos.
Esim. 1
Geometrisen lukujonon \((a_{n})=1,3,9,27,\ldots\) neljän ensimmäisen jäsenen summa on \(S_{4}=1+3+9+27=40\).
Geometrinen summa
Geometrisen lukujonon \(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots\) \(n\):n ensimmäisen jäsenen summa $$\begin{align} S_{n}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}\\ &=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ &=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q} , \end{align}$$ jos suhdeluku \(q\neq1\) ja $$S_n=na_1,$$ jos suhdeluku \(q=1\).
Esim. 2
Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on \(1\) ja suhdeluku \(3\).
Laske
a) \(S_{12}\)
b) \(\displaystyle{\sum_{n=4}^{9}a_{n}}\)
Esim. 3
Kuinka monta geometrinen lukujonon \((a_{n})=1,3,9,27,\ldots\) jäsentä alusta lukien on laskettava yhteen, jotta summa ylittää arvon \(5\ 000\).
2 RAHA
2.1 Korko
Korko on toisaalta pankin talletuksesta maksama korvaus ja toisaalta pankin lainasta perimä hinta.
Sanastoa
Pääoma = talletussumma.
Korkoprosentti eli korkokanta = pääomasta korkojaksolta kertyvä prosenttiosuus. Ellei toisin mainita korkojakso on yksi vuosi, jolloin voidaan käyttää myös nimitystä vuosikorko.
Lähdevero = pankin korkotulosta automaattisesti vähentämä ja valtiolle tilittämä vero. Lähdevero on 30 % korkotulosta ja se pyöristetään alaspäin lähimpään 10 senttiin.
Nettokorko eli todellinen korko = korko, josta on vähennetty tallettamiseen liittyvät kustannukset, kuten esimerkiksi tilinhoitomaksu ja lähdevero.
Nimelliskorko = inflaation vaikutusta ei ole huomioitu.
Reaalikorko = inflaation vaikutus on huomioitu.
Esim. 1
Vuoden alussa talletetaan 800 euroa tilille, jonka vuosikorko on 3,1 %.
Laske
a) Koron määrä.
b) Rahan määrä tilillä koron maksun ja lähdeveron pidätyksen jälkeen.
Vuotta lyhyemmältä ajalta korko lasketaan seuraavasti.
Yksinkertainen korko
Kun korkoaika on lyhyempi tai yhtä pitkä kuin yksi korkojakso, korko \(r\) lasketaan
$$r=kit,$$
missä
- \(k\) on pääoma,
- \(i\) on vuotuinen korkokanta desimaalilukuna ja
- \(t\) on korkoaika vuosina.
Aika vuosina voidaan laskea eri korkotapoja käyttäen. Jos tehtävässä ei muuta mainita, käytetään saksalaista korkotapaa.
Merkitään talletuspäivien lukumäärää \(n\).
| Korkotapa | Päiviä kuukaudessa | Päiviä vuodessa | Aika vuosina |
|---|---|---|---|
| englantilainen | kalenterin mukaan | \(365\ (366)\) | \(t=\frac{n}{365}\ \left(t=\frac{n}{366}\right)\) |
| ranskalainen | kalenterin mukaan | \(360\) | \(t=\frac{n}{360}\) |
| saksalainen | 30 | \(360\) | \(t=\frac{n}{360}\) |
Esim. 2
Tuotteen hinta oli 799 euroa ja se maksettiin laskulla 18 päivää eräpäivän jälkeen. Laske lopulliset kustannukset, kun viivästyskorko oli 7,0 % ja huomautuslaskusta perittiin lisäksi 5,00 euroa.
Esim. 3.
Talletetaan tammikuusta joulukuuhun joka kuukauden alussa 100 € tilille, jonka vuosikorko on 2,9 %. Kuinka paljon tililtä voidaan nostaa rahaa vuoden lopussa? Lähdeveron pyöristystä ei tarvitse huomioida.
2.2 Koron korko
Koron korko on ilmiö, jossa talletukselle maksettu korko tuottaa korkoa, kun korkoaika on pitempi kuin korkojakso.
Esim. 1
Määritä uusi pääoma, kun alkupääoma on 2 000 € ja vuosikorko 2,0 %.
Uusi pääöma
Jos korkokanta pysyy samana, niin uusi pääoma \(K_{n}\) on \(n\) vuoden kuluttua
$$K_{n}=Kq^{n},$$
missä \(K\) on pääoma ja \(q\) on korkotekijä (-kerroin).
Esim. 2
Arin isä talletti Arille \(1000\) euroa sen vuoden, jona Ari syntyi, alussa.
a) Kuinka paljon tilillä on rahaa Arin täyttäessä \(18\) vuotta, jos nettokorkokanta pysyy \(3\) %:ssa?
b) Kuinka monen vuoden kuluttua tilillä olisi yli \(2000\) euroa?
2.3 Diskonttaus
Diskonttaus on koron lisäämiselle käänteinen toimitus.
Alkupääoma \(K\) voidaan ratkaista yhtälöstä:
\(\ \ \ K_{n}=Kq^{n}\quad\mid:q^{n}\)
\(\displaystyle{K=\frac{K_{n}}{q^{n}}=K_{n}q^{-n}}\)
Kaavassa
- \(K_{n}\) = uusi pääoma (tuleva arvo),
- \(q\) = korkokerroin ja
- \(n\) = vuosien lukumäärä.
Esim. 1
Kuinka suuri alkupääoma on sijoitettava, jotta \(3\) % vuosikorolla uusi pääoma olisi \(4\) vuoden kuluttua \(5000\) euroa?
Esim. 2
Pekka sai ylioppilaslahjaksi summan rahaa.
Pekka laski, että jos hän sijoittaa rahat korkeakorkoiselle tilille (vuosikorko \(3{,}1\) %), hän voi vuoden kuluttua nostaa tililtä \(100\) €, kahden kuluttua \(200\) € ja kolmen kuluttua \(500\) €.
Kuinka paljon rahaa Pekka sai ylioppilaslahjaksi?
2.4 Laina
Sanastoa
Korko = lainan hinta. Lainan korolla voidaan tarkoittaa toisaalta lainan vuosikorkoa prosentteina tai toisaalta lainan lyhentämisen yhteydessä maksettavaa koron määrää euroina.
Lainapääoma = jäljellä olevan lainan määrä.
Lyhennys = rahasumma, jolla lainaa maksetaan takaisin eli lainapääomaa lyhennetään.
Takaisinmaksuerä = lyhennys ja korko yhteensä.
Lisätietoa: Korkoprosentti muodostuu viitekorosta ja korkomarginaalista. Todellinen vuosikorko on prosentteina ilmoitettava korko, joka pitää sisällään kaikki lainan hoitoon liittyvät kustannukset.
Tasalyhennyslaina
Tasalyhennyslaina on maksetaan takaisin yhtä suurina lyhennyksinä. Lyhennysjaksolta (usein kuukausi) maksetaan lyhennyksen lisäksi korko jäljellä olevasta lainapääomasta. Näin ollen takaisinmaksuerä pienenee, kun lainapääoma vähenee.
Esim. 1
Tasaerä- eli annuiteettilaina
Tasaerä- eli annuiteettilainassa takaisinmaksuerät ovat yhtä suuria. Näin ollen, jos korkokanta säilyy samana, laina-ajan kuluessa ja lainapääoman vähentyessä takaisinmaksuerästä lyhennyksen osuus on yhä suurempi ja koron osuus yhä pienempi.
Usein ajan kuluessa korkokanta kuitenkin vaihtuu. Tällöin joko laina-ajan pituus muuttuu takaisinmaksuerän pysyessä vakiona (kiinteäeräinen annuiteetti) tai takaisinmaksuerän suuruus muuttuu laina-ajan pysyessä vakiona (kiinteäaikainen annuiteetti).
Tasaerän eli annuiteetin laskeminen
$$A=Kq^{n}\frac{1-q}{1-q^{n}}$$
Kaavassa
- \(A\) = tasaerän suuruus,
- \(K\) = lainapääoma alussa,
- \(n\) = tasaerien (takaisinmaksukertojen) lukumäärä ja
- \(q\) = yhden lyhennysjakson korkokerroin.
Tasaerälainan jäljellä olevan lainapääoman laskeminen
$$V_{k}=Kq^{k}-A\frac{1-q^{k}}{1-q}$$
Kaavassa
- \(k\) = maksettujen tasaerien lukumäärä,
- \(V_{k}\) = lainapääoma \(k\):n lyhennyksen jälkeen,
- \(K\) = lainapääoma alussa,
- \(A\) = tasaerän suuruus ja
- \(q\) = yhden lyhennysjakson korkokerroin.
Esim. 2