Analyysi ja jatkuva jakauma (MAA12)
Laajuus
2 op
Yleiset tavoitteet (LOPS 2021)
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- syventää ymmärrystään analyysin peruskäsitteistä
- osaa muodostaa ja tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
- täydentää integraalilaskennan taitojaan
- perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
- osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja epäoleellisten integraalien laskemisessa sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt (LOPS 2021)
- paloittain määritelty funktio
- funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
- jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
- käänteisfunktio
- funktioiden raja-arvot äärettömyydessä
- epäoleelliset integraalit
- jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen
Aikataulu
Suoritus
- osallistuminen
- tehtävien tekeminen
- monivalintatehtävien tekeminen
- loppukoe
Arviointi
- säännöllinen, aktiivinen ja vastuullinen osallistuminen +1 p
- tehtävien asianmukainen ja jatkuva tekeminen +1 p
- monivalintatehtävistä +1 p kustakin tehdystä monivalintakokonaisuudesta, saavutettava tavoitetaso 80 %, yht. max. 4 p
- loppukokeesta max. 56 p
- max. 60 p (teoreettisesti 62 p)
- 30 % arviointi
| Pisteet | Arvosana | Muuta |
|---|---|---|
| 0 - 9 | i \(\rightarrow\) K | Pakko täydentää. |
| 10 - 17 | i \(\rightarrow\) 4 | Oikeus täydentää. |
| 18 - 25 | 5 | |
| 26 - 33 | 6 | |
| 34 - 41 | 7 | |
| 42 - 49 | 8 | |
| 50 - 57 | 9 | |
| 58 - 60 | 10 |
Keskeyttäminen
Opettaja keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos
- opiskelija niin pyytää
- opiskelija ei ole läsnä opintojakson kahdella ensimmäisellä opetuskerralla ja opiskelija ei ole yhteydessä opettajaan eikä opettaja saa yhteyttä opiskelijaan.
Opettaja voi keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos opiskelijalla on viisi poissaoloa. Tällaiset tilanteet opettaja käy läpi tapauskohtaisesti ja on ennen lopullista keskeytystä yhteydessä opiskelijaan.
Keskeyttämisestä opettaja merkitsee opintojaksosta opiskelijalle K-merkinnän Wilmaan ja poistaa opiskelijan sen jälkeen Wilman ryhmästä. Opettaja lähettää keskeyttämisestä viestin opiskelijalle, alaikäisen opiskelijan huoltajalle, ryhmänohjaajalle ja opolle.
1 FUNKTIO
1.1 Paloittain määritelty funktio
Funktio on sääntö, joka yhdistää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon (lukuun) täsmälleen yhden maalijoukon alkion (luvun).
Merkintä \(f:A\rightarrow\mathbb{R}\) tarkoittaa, että funktio \(f\) liittää jokaiseen määrittelyjoukon \(A\) alkioon (lukuun) jonkin maalijoukon alkion (luvun). Tässä maalijoukkona on reaalilukujen joukko \(\mathbb{R}\).
Määrittelyjoukko on (luku)joukko, jossa funktion sääntönä oleva laskutoimitus on määritelty ja laskettavissa.
Maalijoukko on (luku)joukko, johon funktion arvot kuuluvat. Maalijoukkoon voi kuulua muitakin alkioita kuin funktion arvot.
Arvojoukko tarkoittaa joukkoa, joka koostuu täsmälleen funktion arvoista. Arvojoukko on aina maalijoukon osajoukko.
Paloittain määritellyn funktion sääntö on erilainen eri määrittelyväleillä.
Esim. 1
Olkoon \(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&\text{kun}\ x<3\\x+1,&\text{kun}\ x\geq3\end{cases}\).
Laske funktion arvot \(f(1)\) ja \(f(3)\). Piirrä funktion kuvaaja GeoGebralla.
Esim. 2
Ilmaise funktio paloittain määriteltynä ilman itseisarvomerkkejä.
a) \(f(x)=\left| 2x+6 \right|\)
b) \(g(x)=\left| x^{2}-2x \right|\)
1.2 Raja-arvo
Merkintöjä:
\(x\rightarrow a\): ''muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\)''.
\(x\rightarrow a-\): ''muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\) vasemmalta''.
\(x\rightarrow a+\): ''muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\) oikealta''.
Raja-arvon olemassaolo
Funktiolla \(f\) on raja-arvo \(b\) kohdassa \(a\), jos ja vain jos funktiolla on sekä vasemmanpuolinen että oikeanpuolinen raja-arvo \(b\) kohdassa \(a\):
$$\lim_{x\rightarrow a} f(x)=b \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x\rightarrow a-} f(x)=\lim_{x\rightarrow a+} f(x)=b.$$
1.3 Jatkuvuus
Olkoon funktio \(f\) määritelty kohdassa \(a\) ja sen ympäristössä.
Funktio \(f\) on
- vasemmalta jatkuva kohdassa \(a\), jos $$\lim_{x\rightarrow a-}=f(a)$$
- oikealta jatkuva kohdassa \(a\), jos $$\lim_{x\rightarrow a+}=f(a)$$
- jatkuva kohdassa \(a\), jos $$\lim_{x\rightarrow a}=f(a).$$
Funktio \(f\) on
- jatkuva välillä \(I\), jos se on jatkuva välin jokaisessa sisäpisteessä ja toispuoleisesti jatkuva välin mahdollisissa päätepisteissä
- kaikkialla jatkuva, jos se on jatkuva koko reaalilukujoukossa
- jatkuva, jos se on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
Bolzanon lause
Olkoon funktio \(f\) jatkuva suljetulla välillä \(\left[a,b\right]\). Jos funktio saa välin päätepisteissä erimerkkiset arvot, niin funktiolla on välillä \(\left]a,b\right[\) ainakin yksi nollakohta.
1.4 Derivoituvuus
Derivaatta
Oletetaan, että funktio \(f\) on määritelty kohdassa \(a\) ja sen ympäristössä.
Funktio \(f\) on derivoituva kohdassa \(a\), jos funktiolla on derivaatta \(f'(a)\).
Funktion \(f\) derivaatta kohdassa \(a\) määritellään erotusosamäärän raja-arvona $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
Geometrisesti funktion \(f\) derivaatta kohdassa \(a\) tulkitaan funktion kuvaajan kohtaan \(a\) piirretyn tangentin kulmakertoimena.
1.5 Toispuolinen derivaatta
Lause
Jos funktio \(f\) on derivoituva kohdassa \(a\), niin se on jatkuva kohdassa \(a\).
Käänteiseen suuntaan jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto derivoituvuudelle.
Toispuoliset derivaatat
Funktion \(f\) vasemmanpuolinen derivaatta kohdassa \(a\) määritellään erotusosamäärän vasemmanpuolisena raja-arvona $$f'_{-}(a)=\lim_{h\to 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
Funktion \(f\) oikeanpuolinen derivaatta kohdassa \(a\) määritellään erotusosamäärän oikeanpuolisena raja-arvona $$f'_{+}(a)=\lim_{h\to 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
Funktiolla \(f\) on derivaatta kohdassa \(a\) täsmälleen silloin, kun funktion \(f\) toispuoliset derivaatat kohdassa \(a\) ovat yhtä suuret.
Huom.
GeoeGebralla raja-arvot saadaan laskettua seuraavasti:
- \(\lim_{x\to1}\left(3x-1\right)\)
RajaArvo(3x-1,1) - \(\lim_{x\to1-}\left(3x-1\right)\)
RajaArvoVasen(3x-1,1) - \(\lim_{x\to1+}\left(3x-1\right)\)
RajaArvoOikea(3x-1,1)
Esim. 1
Tutki funktion \(f(x)=\begin{cases}2x^{2}+3,&\text{kun}\ x\leq1\\4x+1,&\text{kun}\ x>1\end{cases}\) derivoituvuutta kohdassa \(x=1\).
Esim. 2
Tutki funktion \(f(x)=\left| 2x+6 \right|\) derivoituvuutta kohdassa \(x=-3\).
1.6 Toisen kertaluvun derivaatta
Funktion monotonisuus ja ensimmäisen kertaluvun derivaatta
Olkoon funktio \(f\) jollakin lukusuoran välillä derivoituva.
1) Jos \(f'(x) > 0\) kaikissa tämän välin kohdissa lukuun ottamatta yksittäisiä kohtia, joissa \(f'(x) = 0\), niin funktio \(f\) on aidosti kasvava tällä välillä.
2) Jos \(f'(x) < 0\) kaikissa tämän välin kohdissa lukuun ottamatta yksittäisiä kohtia, joissa \(f'(x) = 0\), niin funktio \(f\) on aidosti vähenevä tällä välillä.
Huom.
- Jos \(f''>0\), niin \(f'\) on aidosti kasvava.
- Jos \(f''<0\), niin \(f'\) on aidosti vähenevä.
Funktion kuperuus ja toisen kertaluvun derivaatta
Olkoon funktio \(f\) jollakin lukusuoran välillä kahdesti derivoituva.
1) Jos \(f''(x)<0\) kaikissa tämän välin kohdissa lukuun ottamatta yksittäisiä kohtia, joissa \(f''(x)=0\), niin funktio \(f\) on ylöspäin kupera tällä välillä.
2) Jos \(f''(x)>0\) kaikissa tämän välin kohdissa lukuun ottamatta yksittäisiä kohtia, joissa \(f''(x)=0\), niin funktio \(f\) on alaspäin kupera tällä välillä.
Funktion ääriarvokohdat ja toisen kertaluvun derivaatta
Olkoon funktio \(f\) kahdesti derivoituva kohdassa \(x_0\) ja \(f'(x_0)=0\).
1) Jos \(f''(x_0)<0\), kohta \(x_0\) on funktion \(f\) maksimikohta.
2) Jos \(f''(x_0)>0\), kohta \(x_0\) on funktion \(f\) minimikohta.
Huom.
Jos \(f''(x_0)=0\), niin ääriarvokohdan laatua tai olemassaoloakaan ei voida päätellä toisen kertaluvun derivaattafunktiosta.
2 KÄÄNTEISFUNKTIO
2.1 Käänteisfunktio
Tulossa
2.2 Käänteisfunktion derivaatta
Tulossa
Käänteisfunktion derivaatta
$$$$
3 EPÄOLEELLINEN INTEGRAALI
3.1 Raja-arvo äärettömyydessä
Merkintöjä:
\(x\rightarrow \infty\) (Muuttuja \(x\) kasvaa rajatta.)
\(x\rightarrow -\infty\) (Muuttuja \(x\) pienenee rajatta.)
Funktion raja-arvo äärettömyydessä
1) Jos funktion \(f\) arvot lähestyvät lukua \(a\), kun muuttujan \(x\) arvot kasvavat rajatta, on funktion \(f\) epäoleellinen raja-arvo äärettömyydessä luku \(a\). Merkitään $$\lim_{x\to\infty}f(x)=a\quad \text{tai}\quad f(x)\to a, \ \text{kun}\ x\to\infty.$$
2) Jos funktion \(f\) arvot lähestyvät lukua \(b\), kun muuttujan \(x\) arvot pienenevät rajatta, on funktion \(f\) epäoleellinen raja-arvo miinus äärettömyydessä luku \(b\). Merkitään $$\lim_{x\to-\infty}f(x)=b\quad \text{tai}\quad f(x)\to b, \ \text{kun}\ x\to-\infty.$$
Jos muuttujan \(x\) kasvaessa rajatta funktion \(f\) arvo kasvaa rajatta, funktiolla \(f\) on epäoleellinen raja-arvo ääretön. Jos funktion arvo pienenee rajatta, funktiolla on epäoleellinen raja-arvo miinus ääretön. Tilanteet, joissa muuttuja \(x\) pienenee rajatta, määritellään vastaavasti.
Huom.
Funktiolla ei välttämättä ole minkäänlaista raja-arvoa äärettömyydessä. Näin on vaikkapa, kun funktion \(f\) arvo ei lähesty mitään reaalilukua eikä kasva tai pienene rajatta.
Äärettömän laskusääntöjä
- \(\infty+\infty=\infty\)
- \(\infty\cdot\infty=\infty\)
- \(a+\infty=\infty\)
- \(a\cdot\infty=\infty\)
- \(\frac{a}{\infty}=0\)
- \(\infty^{a}=\infty\)
- \(a^{\infty}= \begin{cases}0,& \text{kun}\ 0< a <1\\ \infty,& \text{kun}\ a>1\end{cases}\)
Ääretön noudattaa vaihdantalakia, merkkisääntöä ja potenssien laskusääntöjä.
Huom.
Seuraavia laskutoimituksia ei ole määritelty: $$\infty -\infty,\qquad 0\cdot\infty,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad \infty^{0},\qquad 0^{\infty},\qquad 1^{\infty}\qquad \text{ja}\qquad(-\infty)^{\infty}.$$
Seuraavissa esimerkeissä määritä raja-arvot.
Esim. 1
\(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}}\)
Esim. 2
\(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+3}{x^{2}-2}}\)
Esim. 3
\(\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}\frac{10x^{2}-1}{x^{3}-10}}\)
Esim. 4
\(\displaystyle{\lim_{x\to\infty}3^{-2x}}\)
3.2 Raja-arvona ääretön
Epäoleellinen raja-arvo kohdassa \(a\)
1) Jos funktion \(f\) arvo kasvaa rajatta, kun muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\), funktiolla \(f\) on kohdassa \(a\) epäoleellinen raja-arvo ääretön. $$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$$
2) Jos funktion \(f\) arvo pienenee rajatta, kun muuttuja \(x\) lähestyy kohtaa \(a\), funktiolla \(f\) on kohdassa \(a\) epäoleellinen raja-arvo miinus ääretön. $$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$$
Osamäärän epäoleellinen raja-arvo
Jos \(\displaystyle{\lim_{x\to a}}f(x)\neq0\) ja \(\displaystyle{\lim_{x\to a}}g(x)=0\), niin osamäärän \(\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}\) toispuolinen epäoleellinen raja-arvo kohdassa \(a\) on \(\infty\), mikäli \(\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}>0\), ja \(-\infty\), mikäli \(\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}<0\) kohdan \(a\) läheisyydessä tutkittavalla puolella.
Epäoleellinen raja-arvo kohdassa \(a\) on olemassa vain, kun toispuoliset epäoleelliset raja-arvot ovat samanmerkkiset.
Esim.
Onko funktiolla \(h(x)=\displaystyle{\frac{1}{x^{2}}}\) raja-arvo tai epäoleellinen raja-arvo kohdassa 0?
3.3 Epäoleellinen integraali
Kyseessä on epäoleellinen integraali seuraavissa tapauksissa.
1) Integroimisväli on toisesta päätepisteestä rajoittamaton.
- Integroimisväli on \(\left[a,\infty\right[\).$$\int_{a}^{\infty}f(x)\text{d}x=\lim_{t\to\infty}\int_{a}^{t}f(x)\text{d}x$$
- Integroimisväli on \(\left]-\infty,b\right]\).$$\int_{-\infty}^{b}f(x)\text{d}x=\lim_{t\to-\infty}\int_{t}^{b}f(x)\text{d}x$$
2) Funktio ei ole määritelty integroimisvälin toisessa päätepisteessä.
- Funktio \(f\) on määritelty välillä \(\left]a,b\right]\), mutta ei pisteessä \(a\).$$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\lim_{t\to a+}\int_{t}^{b}f(x)\text{d}x$$
- Funktio \(f\) on määritelty välillä \(\left[a,b\right[\), mutta ei pisteessä \(b\).$$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\lim_{t\to b-}\int_{a}^{t}f(x)\text{d}x$$
Jos edellä lueteltuihin epäoleellisiin integraaleihin liittyvä raja-arvo on olemassa, sanomme, että epäoleellinen integraali suppenee. Muutoin epäoleellinen integraali hajaantuu.
3.4 Epäoleellisen integraalin laskeminen osissa
Epäoleellinen integraali on laskettava osissa seuraavissa tapauksissa.
1) Funktio \(f\) on jatkuva avoimella välillä \(\left]a,b\right[\) ja \(a\lt c\lt b\), \(c\in\mathbb{R}\).
- Funktio \(f\) ei ole määritelty integroimisvälin \(\left]a,b\right[\) kummassakaan päätepisteessä.
- Integroimisväli on molemmista päätepisteistä rajoittamaton, \(\left]-\infty,\infty\right[\).
- Integroimisväli on toisesta päätepisteestä rajoittamaton ja funktio \(f\) ei ole määritelty integroimisvälin toisessa päätepisteessä, \(\left]a,\infty\right[\) tai \(\left]-\infty,b\right[\).
2) Funktio \(f\) on määritelty suljetulla välillä \(\left[a,b\right]\) lukuunottamatta tällä välillä olevaa kohtaa \(c\).
- Useita epäoleellisuuskohtia sisältävä integraali jaetaan useaan osaan.
Jos edellä lueteltujen osissa laskettavien epäoleellisten integraalien osat suppenevat, niin epäoleellinen integraali suppenee. Muutoin epäoleellinen integraali hajaantuu.
4 JATKUVA JAKAUMA
4.1 Tiheysfunktio
Kerrataan satunnaismuuttujan ja todennäköisyysjakauman käsitteet:
- Satunnaismuuttuja on funktio, joka liittää satunnaisilmiön jokaiseen alkeistapaukseen täsmälleen yhden reaaliluvun, jota kutsutaan satunnaismuuttujan arvoksi.
- Jos satunnaismuuttujan arvot ovat erillisiä (esim. kokonaislukuja), kyseessä on diskreetti satunnaismuuttuja.
- Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma saadaan laskemalla satunnaismuuttujan jokaisen arvon todennäköisyys. Todennäköisyysjakauma voidaan diskreetin tilastollisen jakauman tavoin esittää taulukkona tai pylväskuvaajana.
Jos satunnaismuuttuja voi saada minkä tahansa arvon joltain reaalilukuväliltä, kyseessä on jatkuva satunnaismuuttuja.
Satunnaismuuttujan jakauma ilmaisee, kuinka todennäköisiä satunnaismuuttujan eri arvot ovat. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma eli jatkuva todennäköisyysjakauma voidaan esittää satunnaismuuttujan tiheysfunktion avulla.
Tiheysfunktio
Funktio \(f\) on satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio, jos
- \(f(x)\geq0\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\)
- \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}}f(x)\ \text{d}x=1\)
- \(P\left(a\leq X\leq b \right)=\displaystyle{\int_{a}^{b}}f(x)\ \text{d}x\)
Ensimmäisen kohdan mukaan todennäköisyys on aina epänegatiivinen. Toisen kohdan mukaan kaikkien vaihtoehtojen todennäköisyys on 1. Kolmannen kohdan mukaan todennäköisyys on yhtä suuri kuin pinta-alaintegraali.
Huom.
- Yksittäisen satunnaismuuttujan arvon todennäköisyys on 0: $$P(X=t)=P(t\leq X\leq t)=0.$$
- Edellisestä kohdasta seuraa: $$\begin{align}&P(a\leq X\leq b)\\&=P(a\leq X\lt b)\\&=P(a\lt X\leq b)\\&=P(a\lt X\lt b).\end{align}$$
Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo ja keskihajonta
Olkoon \(f(x)\) satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio. Tällöin jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\) odotusarvo on $$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\ f(x)\ \text{d}x$$ ja keskihajonta $$D(X)=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)\ \text{d}x},$$ missä \(\mu=E(X)\).
4.2 Kertymäfunktio
Kertymäfunktio
Olkoon satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio \(f\). Tällöin satunnaismuuttujan \(X\) kertymäfunktio on $$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\ \text{d}t.$$
Kertymäfunktion arvo \(F(x)\) ilmaisee arvoon \(x\) mennessä kertyneen todennäköisyyden.
Huom.
- \(P(X\geq x)=1-P(X\lt x)=1-F(x)\) (vastatapahtuman avulla)
- \(P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\lt a)=F(b)-F(a)\) (kertymien erotus)
4.3 Normaalijakauma
Normaalijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma.
Jos satunnaismuuttuja \(X\) noudattaa normaalijakaumaa odotusarvona \(\mu\) ja keskihajontana \(\delta\), niin merkitään $$X\sim N(\mu,\delta).$$
Huom.
Normaalijakauman tiheysfunktion kuvaaja on keskilinjan suhteen symmetrinen käyrä (ns. Gaussin käyrä tai ''kellokäyrä'').
Normaalijakaumalla voidaan mallintaa normaalisti jakautuneita ilmiöitä.
4.4 Normitettu normaalijakauma
Normitetun normaalijakauman eli standardinormaalijakauman odotusarvo on \(0\) ja keskihajonta \(1\).
Jos satunnaismuuttuja \(Z\) noudattaa normitettua normaalijakaumaa, niin merkitään $$Z\sim N(0,1).$$
Huom.
Koska normitetun normaalijakauman odotusarvo on \(0\), niin sen tiheysfunktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.
Mikä tahansa normaalijakauma voidaan normittaa eli kuvata normitetulle normaalijakaumalle.
Normittaminen
Jos normaalijakaumassa satunnaismuuttuja \(X\sim N(\mu,\delta)\), niin vastaavassa normitetussa normaalijakaumassa satunnaismuuttuja \(Z=\frac{X-\mu}{\delta}\sim N(0,1)\).
Huom.
Satunnaismuuttujan \(X\) arvoa \(x\) vastaava normitettu arvo \(z=\frac{x-\mu}{\delta}\) ilmaisee, kuinka monen keskihajonnan \(\delta\) verran arvo \(x\) poikkeaa odotusarvosta \(\mu\) ja mihin suuntaan.