mikkoheino.fi

Pitkän matematiikan kertaus (MAA20)

Laajuus

2 op

Yleiset tavoitteet (Kuopion lukioiden OPS 2021)

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija

• valmentautuu ylioppilaskirjoituksiin
• saa valmiuksia jatko-opintoihin ja tulevaisuuden työelämään.

Keskeiset sisällöt (Kuopion lukioiden OPS 2021)

• kerrataan ja syvennetään lukion pitkän matematiikan oppimäärän keskeisiä sisältöjä.

Aikataulu

• Jaksosuunitelma lv. 2025-2026

Suoritus

• osallistuminen
• tehtävien tekeminen
• vähintään lämmittelysarja ja yksi asianmukaisesti tehty annettu tehtävä kustakin oppikirjan kappaleesta 1-16
• preli

Arviointi

• ''Opiskelijan arviointi kohdistuu matematiikalle ominaisen vastaustekniikan hallintaan ja aihesisältöjen osaamiseen. Asiasisältöjen hallintaa arvioidaan opiskelijan opintojakson aikana tekemien harjoitustehtävien kautta. Opintojakson päätteeksi voidaan pitää YO-koetta vastaava laaja harjoituskoe. Arviointikriteerit pohjautuvat YTL:n hyvän vastauksen piirteisiin.'' (Kuopion lukioiden OPS 2021)
• arvosana S/K

Keskeyttäminen

Opettaja keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos

• opiskelija niin pyytää
• opiskelija ei ole läsnä opintojakson kahdella ensimmäisellä opetuskerralla ja opiskelija ei ole yhteydessä opettajaan eikä opettaja saa yhteyttä opiskelijaan.

Opettaja voi keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos opiskelijalla on neljä (4) poissaoloa. Tällaiset tilanteet opettaja käy läpi tapauskohtaisesti ja on ennen lopullista keskeytystä yhteydessä opiskelijaan.

Keskeyttämisestä opettaja merkitsee opintojaksosta opiskelijalle K-merkinnän Wilmaan ja poistaa opiskelijan sen jälkeen Wilman ryhmästä. Opettaja lähettää keskeyttämisestä viestin opiskelijalle, alaikäisen opiskelijan huoltajalle, ryhmänohjaajalle ja opolle.

Sivun alkuun.

---

1 VALMISTAUTUMINEN YO-KOKEESEEN

---

1.1 Kokeen rakenne

Pitkän matematiikan koe jakaantuu A-osaan sekä B1- ja B2-osaan.

A-osassa kokelas vastaa kuudesta tehtävästä viiteen. A-osassa ei ole käytössä GeoGebraa eikä taulukkolaskentaohjelmaa. Peruslaskimista käytössä ovat mm. Abicus ja SpeedCrunch (jälkimmäinen vain kevääseen 2026 asti). Taulukot ovat käytössä myös A-osassa.

B1-osassa kokelas vastaa neljästä tehtävästä kolmeen ja B2-osassa kolmesta tehtävästä kahteen.

Yhteensä kokeessa on siis 13 tehtävää, joista vastataan kymmeneen. Kukin tehtävä on 12 pisteen arvoinen. Siten kokeen enimmäispistemäärä on 120 pistettä.

Huom. Kaikkiin tehtäviin on mahdollista vastata kokeen alusta alkaen. Ainoastaan laskinohjelmistot vapautuvat käyttöön vasta, kun A-osa on palautettu.

Kappaleen alkuun.

---

1.2 Kokeeseen tutustuminen

Ennen kuin aloittaa vastaamaan yhteenkään tehtävään, kannattaa käyttää hetki aikaa kokeeseen tutustumiseen ja suunnitella vastaamisjärjestys.

Kokeen rakenteesta saa yleiskuvan sisällysluettelon avulla. Sisällysluettelosta näkee, liittyykö johonkin tehtävään aineistoja.

Voi olla suositeltavaa lukea myös tehtävät aluksi läpi.

Vastaaminen kannattaa aloittaa helpoimmista tehtävistä.

Karkeasti voi arvioida, että jokaista tehtävää kohti on käytössä noin puoli tuntia aikaa.

Kappaleen alkuun.

---

1.3 Vastauksen laatiminen

Alle on koottu ylioppilastutkintolautakunnan opettajille alustavaa arvostelua antamia ohjeita (lähde: ylioppilastutkinto.fi, 22.10.2025).

''Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti.''

''Matemaattiset ohjelmistot ovat kokeen apuvälineitä, joiden roolit arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty ohjelmistoja, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä ohjelmistolla saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan ohjelmasta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.''

Kappaleen alkuun.

---

1.4 Lukusuunnitelma

Kolmannen jakson lopusta ylioppilaskokeiden alkuun on viisi kokonaista viikkoa. Riippuen lukujärjestyksistä ja keväällä kirjoitettavista aineista väli voi olla pidempikin. Tuon ajan hyödyntämisessä parhaalla mahdollisella tavalla voi auttaa lukusuunnitelma.

Matematiikkaa oppii laskella. Kertaamisessa voi hyödyntää esimerkiksi oppikirjojen esimerkkitehtäviä.

Kappaleen alkuun.

---

1.5 Laskimet

Abicus on hyvä peruslaskin.

SpeedCrunch on käytössä vain kevääseen 2026 asti.

GeoGebra mahdollistaa yhtälönratkaisun ja muita vaativampia operaatioita.

Muista myös taulukkolaskenta.

Muitakin laskimia saa käyttää, jos osaa.

Kappaleen alkuun.

---

2 FUNKTIOT JA YHTÄLÖT 1

---

2.1 Laskutoimituksia

Esim. 1

Laske tai sievennä ilman laskinta.

a) \(-3\dfrac{1}{5}:\dfrac{4}{25}\)

b) \(\dfrac{x^{5}y^{4}}{x(x^{2}y)^{3}}\)

c) \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{x^{3}}}{x}\right)\)

RATKAISU

Esim. 2 (yo, m, 1.1/2025S)

Valitse oikea vaihtoehto.

• Kuinka paljon on 12 prosenttia luvusta 34? (2 p.)
  
  0,35 2,64 2,83 4,08 7,48 16,08 30,36 38,08

Esim. 3 (yo, m, 1.2/2024S)

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

• Laske (2 p.)
  
  Harrin palkka on 4 200 euroa kuukaudessa. Hänen palkastaan vähennetään 33 % ennakonpidätystä, joka sisältää pakolliset eläke- ja työttömyysvakuutusmaksut. Harrin nettopalkka euron tarkkuudella on euroa.

Esim. 4 (yo, m, 1.4/2024S)

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen osatehtävän vastaus on kokonaisluku.

• Laske (2 p.)
  
  Kokeiden arvostelu kestää kolmelta opettajalta yhteensä 12 tuntia. Neljältä opettajalta samaan urakkaan menisi tuntia. Jokainen opettaja arvostelee kokeensa itsenäisesti ja samalla nopeudella.

Kappaleen alkuun.

---

2.2 Potenssifunktio

Esim. 1 (yo, m, 2.1&4/2024K)

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.

• Laske polynomin \(p(x)=12x^{3}+4x\) arvo kohdassa \(x=2\). (3 p.)


• Määritä neljännen asteen termin kerroin polynomissa \((12x^{3}+4x)^{2}\). (3 p.)

Esim. 2 (yo, m, 1/2020S)

Yhtälöitä (12 p.)

1. Millä luvun \(x\) arvolla yhtälö \(\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{x}{2}\) on tosi? (3 p.)
   
   \(x=\) -1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1



2. Millä vakion \(a\) arvolla yhtälö \((x+a)(x-a)=x^{2}-81\) on tosi kaikilla reaaliluvuilla \(x\)? (3 p.)
   
   \(a=\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



3. Mikä seuraavista vaihtoehdoista pätee yhtälöön \(2(x-1)=3x-(x+1)\)? (3 p.)
   
   Yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Jokainen reaaliluku toteuttaa yhtälön. Ei mikään edellisistä.



4. Määritä sellainen luku \(b\), että piste \((-7,b)\) on suoralla \(6x+4y=2\). (3 p.)
   
   \(b=\) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Esim. 3 (yo, m, 1/2023S)

Yhtälö ja epäyhtälö (12 p.)

1. Ratkaise yhtälö \(-7x+3=17\). (3 p.)


2. Ratkaise epäyhtälö \(-7x+3\lt17\). (3 p.)


3. Ratkaise yhtälö \(x^{2}+x=2\). (3 p.)


4. Ratkaise epäyhtälö \(x^{2}+x-2\le0\). (3 p.)

Esim. 4 (yo, m, 1.1-2/2025K)

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauskenttään voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

• Ratkaise yhtälö \(5x-17=43\). (2 p.)


• Ratkaise potenssiyhtälö \(2x^{3}-128=0\). (2 p.)

Esim. 5 (yo, m, 3/2025S)

Epäyhtälö ja yhtälö (12 p.)

1. Ratkaise epäyhtälö \((x-1)(x+3)\gt-3\). (6 p.)

2. Ratkaise yhtälö \((x+e)(x^{2}-\pi^{2})=0\). (6 p.)

Kappaleen alkuun.

---

2.3 Rationaalifunktio

Esim. 1 (yo, m, 2.1/2025K)

Sievennyksiä (12 p.)

1. Sievennä lauseke \(\dfrac{(y^{2}-4)(y+1)}{(y-2)}\), kun \(y\neq2\). (6 p.)


2. Sievennä lauseke \(\sqrt{(z-1)^{2}+2(z-1)+1}\). (6 p.)

RATKAISU

Esim. 2 (yo, m, 3.1/2021K)

• Osoita, että yhtälö $$\dfrac{4}{4-x^{2}}=\dfrac{1}{2+x}+\dfrac{1}{2-x}$$ on voimassa kaikilla \(x\neq\pm2\). (4 p.)

Esim. 3

Määritä rationaalifunktion \(\displaystyle{f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}}\) nollakohdat.

RATKAISU

Kappaleen alkuun.

---

2.4 Juurifunktio

Esim. 1 (yo, m, 2.2/2025K)

Sievennyksiä   12 p.

1. Sievennä lauseke \(\dfrac{(y^{2}-4)(y+1)}{(y-2)}\), kun \(y\neq2\). (6 p.)


2. Sievennä lauseke \(\sqrt{(z-1)^{2}+2(z-1)+1}\). (6 p.)

RATKAISU

Esim. 2

Ratkaise yhtälö.

a) \(\sqrt[3]{2x^2-8}-4=0\)

b) \(\sqrt[4]{2x+2}=\sqrt[4]{x^2-1}\)

Kappaleen alkuun.

---

3 GEOMETRIA

---

3.1 Tasogeometria

Esim. 1 (yo, m, 1/2024K)

Kulmanmetsästys   12 p.

Määritä kuviin merkityt tuntemattomat kulmat asteen tarkkuudella.

Kirjoita tämän tehtävän vastauskenttiin pelkät laskujen lopputulokset ilman välivaiheita ja perusteluja. Jokaisen kohdan vastaus on kokonaisluku.

1. Määritä kulma \(\alpha\). (2 p.)

   

   \(\alpha=\) astetta




2. Määritä kulma \(\beta\). (2 p.)

   

   \(\beta=\) astetta




3. Määritä kulma \(\gamma\). (2 p.)

   

   \(\gamma=\) astetta




4. Määritä kulma \(\delta\). (2 p.)

   

   \(\delta=\) astetta




5. Määritä kulma \(\epsilon\). (2 p.)

   

   \(\epsilon=\) astetta




6. Määritä kulma \(\zeta\). (2 p.)

   

   \(\zeta=\) astetta

VASTAUKSET

Esim. 2 (yo, m, 7.1-2/2025S)

Geometrian laskutehtäviä   12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauslaatikkoon voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

Laske kussakin osatehtävässä tuntemattoman likiarvo kokonaisluvuksi pyöristettynä.

1. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen pinta-ala on \(A_1\). (2 p).

   \(A_1\approx\)




2. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen piirin pituus on \(p\). (2 p.)

   \(p\approx\)




3. Suoran ympyrälieriön korkeus on \(13\), säde \(4\) ja vaipan pinta-ala \(A_2\). (2 p.)

   \(A_2\approx\)




4. Pisteen \((-20, 6)\) etäisyys suorasta \(2x+y+5=0\) on \(d\). (2 p.)

   \(d\approx\)




5. Olkoot \(\bar{u}=\bar{i}+2\bar{j}\) ja \(\bar{v}=2\bar{i}-2\bar{j}\). Vektorien \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) välinen kulma asteina on \(\alpha\). (2 p.)

   \(\alpha\approx\)




6. Olkoot \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) kuten osatehtävässä 7.5. Vektorin \(4\bar{u}-7\bar{v}\) pituus on \(L\). (2 p.)

   \(L\approx\)

Esim. 3 (yo, m, 3/2025K)

Suorakulmaiset kolmiot   12 p.

3.A Kuva: Hahmotelma kolmioista

Suorakulmaisen kolmion \(ABC\) sivujen pituudet ovat \(\left|AB\right|=3\), \(\left|AC\right|= 4\) ja \(\left|BC\right|=5\). Suorasta kulmasta \(A\) piirretään korkeusjana kohtisuoraan hypotenuusalle pisteeseen \(D\). Pisteestä \(D\) piirretään edelleen kohtisuora jana kateetille \(AC\) pisteeseen \(E\). Lopputulos on hahmoteltu kuvassa 3.A.

Määritä suorakulmaisen kolmion \(ADE\) kateettien pituudet.

RATKAISU

Kappaleen alkuun.

---

3.2 Avaruusgeometria

Esim. 1 (yo, m, 7.3/2025S)

Geometrian laskutehtäviä   12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauslaatikkoon voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

Laske kussakin osatehtävässä tuntemattoman likiarvo kokonaisluvuksi pyöristettynä.

1. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen pinta-ala on \(A_1\). (2 p).

   \(A_1\approx\)




2. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen piirin pituus on \(p\). (2 p.)

   \(p\approx\)




3. Suoran ympyrälieriön korkeus on \(13\), säde \(4\) ja vaipan pinta-ala \(A_2\). (2 p.)

   \(A_2\approx\)




4. Pisteen \((-20, 6)\) etäisyys suorasta \(2x+y+5=0\) on \(d\). (2 p.)

   \(d\approx\)




5. Olkoot \(\bar{u}=\bar{i}+2\bar{j}\) ja \(\bar{v}=2\bar{i}-2\bar{j}\). Vektorien \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) välinen kulma asteina on \(\alpha\). (2 p.)

   \(\alpha\approx\)




6. Olkoot \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) kuten osatehtävässä 7.5. Vektorin \(4\bar{u}-7\bar{v}\) pituus on \(L\). (2 p.)

   \(L\approx\)

Esim. 2 (yo, m, 6/2023S)

Appelsiinien kuoret   12 p.

Kaupassa myydään kokonaisia appelsiineja 1,50 euron kilohinnalla ja kuorittuja appelsiineja 9,50 euron kilohinnalla. Kuorimattomien appelsiinien ympärysmitta on 25,0 cm ja kuoren paksuus 6,0 mm.

1. Kuinka suuri osuus appelsiinin tilavuudesta on kuorta? Oletetaan appelsiini palloksi ja kuori tasapaksuksi. (6 p.)

2. Mikä on kuorimistyön osuus hinnasta prosentteina? Oletetaan, että kuoren ja syötävän osan tiheys on sama ja että kuoren arvo on nolla euroa. (6 p.)

RATKAISU

Kappaleen alkuun.

---

3.3 Analyyttinen geometria

Esim. 1 (yo, m, 2/2021S)

Geometrisia pikkutehtäviä   12 p.

Valitse oikea vaihtoehto.

1. Paraabelit \(y=4x^{2}\) ja \(y=x^{2}-1\) (2 p.)
   
   eivät leikkaa leikkaavat yhdessä pisteessä leikkaavat kahdessa pisteessä leikkaavat useammassa kuin kahdessa pisteessä.




2. Pisteiden \((1,6)\) ja \((-1,-6)\) välisen janan keskinormaalin kulmakertoimelle \(k\) on voimassa (2 p.)
   
   \(k\lt-1\) \(k=-1\) \(-1\lt k\lt0\) \(k=0\) \(0\lt k\lt1\) \(k=1\) \(k\gt1\).




3. Ympyrän \(9x^{2}+9y^{2}=1\) säde on (2 p.)
   
   \(1\) \(9\) \(1/9\) \(3\) \(1/3\) \(\sqrt{3}\) \(\sqrt{1/3}\).




4. Tasokäyrä koostuu kaikista niistä pisteistä, jotka ovat yhtä kaukana yhdestä kiinteästä pisteestä ja yhdestä kiinteästä suorasta. Tämä tasokäyrä on (2 p.)
   
   ympyrä suora Gaussin kellokäyrä paraabeli kolmio sinikäyrä.




5. Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä \(\cos(3x)=0{,}5\) välillä \(0\lt x\lt\pi\)? (2 p.)
   
   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




6. Ympyrälle \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4\) on piirretty tangentti, joka kulkee pisteen \((0,-4)\) kautta. Tangentti (2 p.)
   
   ei voi olla laskeva ei voi olla nouseva voi olla laskeva tai nouseva on \(x\)-akselin suuntainen on \(y\)-akselin suuntainen.

Esim. 2 (yo, m, 7.4/2025S)

Geometrian laskutehtäviä   12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauslaatikkoon voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

Laske kussakin osatehtävässä tuntemattoman likiarvo kokonaisluvuksi pyöristettynä.

1. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen pinta-ala on \(A_1\). (2 p).

   \(A_1\approx\)




2. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen piirin pituus on \(p\). (2 p.)

   \(p\approx\)




3. Suoran ympyrälieriön korkeus on \(13\), säde \(4\) ja vaipan pinta-ala \(A_2\). (2 p.)

   \(A_2\approx\)




4. Pisteen \((-20, 6)\) etäisyys suorasta \(2x+y+5=0\) on \(d\). (2 p.)

   \(d\approx\)




5. Olkoot \(\bar{u}=\bar{i}+2\bar{j}\) ja \(\bar{v}=2\bar{i}-2\bar{j}\). Vektorien \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) välinen kulma asteina on \(\alpha\). (2 p.)

   \(\alpha\approx\)




6. Olkoot \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) kuten osatehtävässä 7.5. Vektorin \(4\bar{u}-7\bar{v}\) pituus on \(L\). (2 p.)

   \(L\approx\)

Esim. 3 (yo, m, 2/2022S)

Analyyttistä geometriaa   12 p.

1. Määritä janan \(AB\) keskipiste, \(A=(5,5)\) ja \(B=\left(-2,\frac{3}{2}\right)\). (4 p.)


2. Ratkaise yhtälö \(\left|3x+4\right|=5\). (4 p.)


3. Määritä ympyrän \(x^{2}+y^{2}+2x-8=0\) keskipiste ja säde. (4 p.)

Esim. 4 (yo, m, 8/2025K)

Janojen pituudet   12 p.

Tasossa on pisteet \(A=(-6,-1)\), \(B=(-1,11)\) ja \(C=(8,-1)\). Valitaan piste \(X\) janalta \(AB\), piste \(Y\) janalta \(BC\) ja piste \(Z\) janalta \(AC\) niin, että \(\left|AX\right|=\left|AZ\right|=a\), \(\left|BX\right|=\left|BY\right|=b\) ja \(\left|CZ\right|=\left|CY\right|=c\).

Muodosta yhtälöryhmä luvuille \(a\), \(b\) ja \(c\), ja ratkaise se.

Kappaleen alkuun.

---

3.4 Vektorit tasossa

Esim. 1 (yo, m, 2/2020K)

Vektorilaskuja   12 p.

Tutkitaan vektoreita \(\bar{a}=7\bar{i}+2\bar{j}\) ja \(\bar{b}=-3\bar{i}+5\bar{j}\).

Älä perustele tämän tehtävän vastauksia. Tässä tehtävässä ei voi käyttää kuvakaappauksia eikä kaavaeditoria, \(\bar{i}\) ja \(\bar{j}\) kirjoitetaan muodossa i ja j. Kunkin vastauksen enimmäispituus on 30 merkkiä.

1. Laske \(\bar{a}+\bar{b}\). (2 p.)
   
   \(\bar{a}+\bar{b}=\)




2. Laske \(\bar{b}-2\bar{a}\). (2 p.)
   
   \(\bar{b}-2\bar{a}=\)




3. Laske \(\left|\bar{b}\right|^{2}\). (2 p.)
   
   \(\left|\bar{b}\right|^{2}=\)




4. Laske vektorin \(\bar{a}+\bar{b}\) pituus kahden desimaalin tarkkuudella. (2 p.)
   
   Vastaus:




5. Laske \(\bar{a}\cdot\bar{b}\). (2 p.)
   
   \(\bar{a}\cdot\bar{b}=\)




6. Laske vektorien \(\bar{a}\) ja \(\bar{b}\) välinen kulma asteen tarkkuudella. (2 p.)
   
   Vastaus: astetta.

VASTAUKSET

Esim. 2 (yo, m, 7.5-6/2025S)

Geometrian laskutehtäviä   12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauslaatikkoon voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

Laske kussakin osatehtävässä tuntemattoman likiarvo kokonaisluvuksi pyöristettynä.

1. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen pinta-ala on \(A_1\). (2 p).

   \(A_1\approx\)




2. Kolmion kärjet ovat pisteissä \((12, 3)\), \((-2, 9)\) ja \((4, 20)\), ja sen piirin pituus on \(p\). (2 p.)

   \(p\approx\)




3. Suoran ympyrälieriön korkeus on \(13\), säde \(4\) ja vaipan pinta-ala \(A_2\). (2 p.)

   \(A_2\approx\)




4. Pisteen \((-20, 6)\) etäisyys suorasta \(2x+y+5=0\) on \(d\). (2 p.)

   \(d\approx\)




5. Olkoot \(\bar{u}=\bar{i}+2\bar{j}\) ja \(\bar{v}=2\bar{i}-2\bar{j}\). Vektorien \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) välinen kulma asteina on \(\alpha\). (2 p.)

   \(\alpha\approx\)




6. Olkoot \(\bar{u}\) ja \(\bar{v}\) kuten osatehtävässä 7.5. Vektorin \(4\bar{u}-7\bar{v}\) pituus on \(L\). (2 p.)

   \(L\approx\)

VASTAUKSET

Esim. 3 (yo, m, 2/2021K)

Vektoreita ja analyyttista geometriaa   12 p.

Olkoon \(\bar{u}=5\bar{i}+12\bar{j}\).

1. Määritä vektorin \(\bar{u}\) pituus. (3 p).

2. Määritä vektorin \(\bar{u}\) kanssa vastakkaissuuntainen vektori, jonka pituus on 5. (3 p.)

3. Suora \(L\) kulkee pisteiden \(A=(4,4)\) ja \(B=(-1,-8)\) kautta. Ovatko suora \(L\) ja vektori \(bar{u}\) yhdensuuntaisia? (3 p.)

4. Määritä suoran \(L\) yhtälö muodossa \(y=kx+b\). (3 p.)

Kappaleen alkuun.

---

4 FUNKTIOT JA YHTÄLÖ 2

---

4.1 Trigonometriset funktiot

Esim. 1 (yo, m, 1.3/2025K)

Perustehtäviä   12 p.

Anna tässä tehtävässä pelkkä vastaus ilman perusteluja. Vastauskenttään voi kirjoittaa vain yhden kokonaisluvun.

• Ratkaise yhtälö \(\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\), kun \(0^{\circ}\lt x\lt90^{\circ}\). (2 p.)

  \(x=\) astetta

VASTAUKSET

Esim. 2 (yo, m, 4/2025S)

Trigonometrinen yhtälö   12 p.

Ratkaise yhtälö \(1-(\cos x)^{2}=(\sin 2x)^{2}\), kun \(x\in\left[-\pi,\pi\right]\).

Esim. 3 (yo, m, 11/2020S)

Trigonometriset yhtälöt   12 p.

Seuraavia yhtälöitä tarkastellaan vain muuttujan arvoilla \(x\in\left[0,\pi\right]\).

1. Ratkaise yhtälö \(\cos x+\sin x=0\). (2 p).

2. Osoita, että yhtälöllä \((\cos x)^{2}+\cos x\sin x+(\sin x)^{2}=0\) ei ole ratkaisua. (4 p.)

3. Selvitä perustellen yhtälön \(\sum_{k=0}^{n}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^{k}=0\) kaikki ratkaisut, kun \(n=3, 4, 5,\ldots\) (6 p.)

Esim. 4 (yo, m, 9/2024S)

Jaksollisuus   12 p.

Funktio \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) on jaksollinen, jos on olemassa sellainen \(L\gt0\), että sen kuvaaja pysyy samana, kun sitä siirrtään \(L\) yksikköä vaakasuorassa suunnassa. Tämä ominaisuus voidaan esittää myös ehdolla \(f(x+L)=f(x)\) kaikilla \(x\in\mathbb{R}\). Pienin tällainen luku \(L\) on funktion perusjakso.

Piirrä jokaisessa osatehtävässä funktion kuvaaja omaan koordinaatistoonsa. Anna vastauksena funktion perusjakso sekä kuvaaja, johon on merkitty perusjakson mittainen osa \(x\)-akselia.

1. \(f(x)=\sin(2\pi x)\) (4 p.)

2. \(g(x)=\left|\sin(\pi x)+\sin(2\pi x)\right|\) (4 p.)

3. Anna esimerkki jaksollisesta funktiosta \(h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), jonka perusjakso on 4. (4 p.)

Kappaleen alkuun.

---

4.2 Eksponenttifunktiot

Esim. 1

Ratkaise yhtälö \(4^{x}=64\).

Esim. 2 (yo, m, 3.1/2024S)

Yhtälöt   12 p.

Ratkaise muuttujien \(x\) ja \(y\) tarkat arvot seuraavista yhtälöistä.

1. Yhtälö \(4\cdot8^{x}=\sqrt{2}\). (4 p.)

2. Yhtälö \(\sin(6y-\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}\), kun \(y\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\). (8 p.)

Esim. 3 (yo, m, 13/2021S)

Eksponenttiyhtälö   12 p.

Tutki yhtälön \(e^{ax}=\ln x\) positiivisten ratkaisujen lukumäärää kaikilla parametrin \(a\gt0\) eri arvoilla.

Kappaleen alkuun.

---

4.3 Logaritmifunktiot

Esim. 1

Ratkaise yhtälö \(\log_{4}(3x+1)=2\).

Esim. 2 (yo, m, 1.5/2025S)

Yks, kaks, kolme, neljä   12 p.

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella.

• Sievennä \(\log_{a}1+\log_{a}2^{3}+\log_{a}4\), kun \(a\gt0\). (2 p.)

  0 log_a 13 5 log_a 2 3 log_a 4 3 log_a 7 log_a 11

Esim. 3 (yo, m, 3/2020S)

Logistinen regressio   12 p.

Logistinen regressio on malli, jota käytetään esimerkiksi tutkittaessa riskiä sairastua erilaisiin sairauksiin, kuten esimerkiksi sepelvaltimotautiin.

Logistinen regressio \(y\) riippuu muuttujasta \(x\) yhtälön $$\ln\dfrac{y}{1-y}=a+bx$$ mukaisesti. Vakiot \(a\) ja \(b\) valitaan mallinnettavan ilmiön mukaan.

1. Ratkaise \(y\) logistisen regression yhtälöstä. (6 p.)

2. Olkoon \(a=2\) ja \(b=-1\). Millä muuttujan \(x\) arvolla \(y\) saa arvon \(0{,}5\)? (6 p.)

Kappaleen alkuun.

---

5 ANALYYSI

---

5.1 Raja-arvo

Kappaleen alkuun.

---

5.2 Jatkuvuus

Siis funktion \(f\) jatkuvuus kohdassa \(x=a\) edellyttää, että

1. funktio \(f\) on määritelty kohdassa \(x=a\),

2. funktiolla \(f\) on raja-arvo kohdassa \(x=a\) ja

3. funktion \(f\) raja-arvo ja funktion \(f\) arvo kohdassa \(x=a\) ovat yhtä suuret.

Huom.

Jos funktiota ei ole määritelty jossakin kohdassa, ei tässä kohdassa ole mielekästä puhua jatkuvuudesta laisinkaan.

Jos funktio on määritelty, mutta ei jatkuva jossakin kohdassa, voimme sanoa, että funktio on epäjatkuva tässä kohdassa.

Funktion jatkuvuus välillä

Sanomme lisäksi, että funktio \(f\) on

• kaikkialla jatkuva, jos se on jatkuva koko reaalilukujoukossa,

• jatkuva, jos se on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.

Huom.

Alkeisfunktiot ja niistä peruslaskutoimituksilla, itseisarvolla ja yhdistämällä muodostetut funktiot ovat määrittelyjoukossaan jatkuvia.

Kappaleen alkuun.

---

5.3 Derivaatta

Sanomme, että funktio \(f\) on

• derivoituva kohdassa \(a\), jos funktiolla on derivaatta kohdassa \(a\),

• kaikkialla derivoituva, jos se on derivoituva koko reaalilukujoukossa,

• derivoituva, jos se on derivoituva koko määrittelyjoukossaan.

Kappaleen alkuun.

---

5.4 Derivointi

Esim. 1 (yo, m, A2/2024S)

Derivaattoja   12 p.

Valitse oikea vaihtoehto. Vastauksia ei tarvitse perustella.

1. Määritä luvun \(p'(1)\) tarkka arvo, kun \(p(x)=-2x^5+x^4-2\). (3 p.)

   \(p'(1)=\ \) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




2. Määritä derivaatta \(f'(x)\), kun \(f(x)=xe^x\). (3 p.)

   \(f'(x)=\ \) e^{x}

   xe^{x} x^{2}e^{x} x^{2}e^{x-1} (x+1)e^{x} 1+e^{x} x+e^{x} ei mikään ylläolevista




3. Määritä luvun \(g'(-1)\) tarkka arvo, kun \(g(x)=\ln (2x+3)\). (3 p.)

   \(g'(-1)=\ \) 1 2 5 ln 1 ln 5 2 ln 1 2 ln 5 ei mikään ylläolevista




4. Määritä derivaatta \(h'(x)\), kun \(h(x)=\sin x+\cos(3x)\). (3 p.)

   \(h'(x)=\ \) cos(x)-sin(3x) -cos(x)+sin(3x) cos(x)-3sin(3x) -cos(x)+3sin(3x) cos(x)-1/3sin(3x) -cos(x)+1/3sin(3x) cos(x)-3sin(x) -cos(x)+3sin(x) ei mikään yllä olevista

Esim. 2 (yo, m, A4/2020S)

Käyrän tangentteja   12 p.

Käyrällä $$y=x^3-5x^2+2x+8=(x-4)(x-2)(x+1)$$ on kaksi tangenttia, jotka kulkevat pisteen \((2,0)\) kautta. Määritä niiden yhtälöt.

Vihje: Käyrän tangentti pisteessä \((2,0)\) antaa toisen kysytyistä yhtälöistä.

Kappaleen alkuun.

---

5.5 Funktion kulku

Esim. 1 (yo, m, A3/2023S)

Minimointi   12 p.

Määritä funktion \(f(x)=x^2+\dfrac{16}{x^2}\) pienin arvo, kun \(x\gt0\).

Esim. 2 (yo, m, A5/2025K)

Suurin arvo   12 p.

Määritä funktion \(f(x)=x^{2025}e^{-x}\) suurin arvo, kun \(x\ge0\).

Kappaleen alkuun.

---

5.6 Integrointi

Esim. 1 (yo, m, A3/2021s)

Integraaleja   12 p.

Jokaisesta osatehtävästä voi saada 4 pistettä.

1. Laske $$\displaystyle{\int}(x^2+1)\,\text{d}x.$$

2. Laske $$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\cos(2x)\,\text{d}x.$$

3. Laske $$\displaystyle{\int_{-1}^{1}}\left|x\right|^{3}\,\text{d}x.$$

Kappaleen alkuun.

---

5.7 Pinta-alaintegraali

Esim. 1 (yo, m, A3/2022S)

Integraalilaskuja   12 p.

1. Määritä \(\displaystyle{\int}\left(-2x^2+6x-4\right)\text{d}x\). (4 p.)

2. Määritä käyrien \(y=(x-1)(3-x)\) ja \(y=(x-1)^2\) väliin jäävän rajoitetun alueen pinta-ala. (8 p.)

Esim. 2 (yo, m, A3/2020K)

Pinta-alan ääriarvo   12 p.

1. Laske integraali \(\displaystyle{\int_{0}^{2}}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\text{d}x\). (3 p.)

2. Funktion \(f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) kuvaajan ja \(x\)-akselin rajoittamasta alueesta leikataan pystysuora kaistale suorilla \(x=t\) ja \(x=t+\frac{1}{2}\). Millä parametrin arvolla \(0\le t\le\frac{3}{2}\) kaistaleen pinta-ala on suurin mahdollinen? (9 p.)

Esim. 3 (yo, m, A4/2022K)

Polynomit   12 p.

Polynomien \(f(x)=(x-2)(x+2)(x-1)\) ja \(g(x)=-2(x-2)(x+2)(x+1)\) kuvaajat leikkaavat toisensa kolmessa pisteessä \((2,0)\), \((-2,0)\) ja \((x_0,y_0)\), missä \(-2\lt x_0\lt0\).

1. Määritä leikkauspiste \((x_0,y_0)\). (4 p.)

2. Laske polynomien kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala välillä \(\left[0,2\right]\). (8 p.)

Esim. 4 (yo, m, B9/2023S)

Taidemuseon aaltoileva aita   12 p.

Taidemuseon aita halutaan maalata ja sen pinta-alaa mallinnetaan integraalilla $$\int_{0}^{4}\left(\dfrac{\cos(10x+x^2)}{2}+1\right)\,\text{d}x.$$

Arvioi integraalia puolisuunnikassäännön avulla käyttäen 10:tä ja 100:aa jakoväliä. Laske näiden arvioiden suhteelliset virheet, kun integraalin arvo viiden desimaalin tarkkuudella on 3,98636.

Kappaleen alkuun.

---

5.8 Tilavuusintegraali

Esim. 1 (yo, m, B6/2023K)

Raketin nokkakartio   12 p.

Erään raketin kärki, eli niin sanottu nokkakartio, saadaan, kun alaspäin aukeava paraabeli pyörähtää symmetria-akselinsa ympäri. Kärjen korkeus on 4,5 metriä, ja sen halkaisija pohjan tasolla on 3,3 metriä. Määritä kärjen tilavuus.

Kappaleen alkuun.

---

6 TILASTOT, TODENNÄKÖISYYS, TALOUS

---

6.1 Tilastot

Esim. 1 (yo, m, A5/2025S)

Tilastollisia tunnuslukuja   12 p.

1. Lukujen \(x_{1}, \ldots ,x_{n}\) keskiarvo on \(a\) ja \(b\gt a\). Osoita, että lukujen \(x_{1}, \ldots ,x_{n},b\) keskiarvo on suurempi kuin \(a\). (6 p.)

2. Anna esimerkki seuraavat ehdot toteuttavista luvuista tai osoita, että sellaisia ei ole olemassa: lukujen moodi on on \(1\), keskiarvo \(10\) ja mediaani \(100\). (6 p.)

Kappaleen alkuun.

---

6.2 Todennäköisyys

Esim. 1 (yo, m, B7/2020K)

Yatzy   12 p.

Yatzy-noppapelissä pelaaja heittää viittä noppaa. Tutkitaan tarkemmin heittoja, joiden tuloksena saadaan täyskäsi tai neliluku yhdellä viiden nopan heitolla. Täyskädellä tarkoitetaan tulosta, jossa yksi silmäluku esiintyy kolme kertaa ja joku toinen silmäluku kaksi kertaa. Neliluvussa esiintyy neljä samaa silmäluku ja yksi muu silmäluku.

1. Määritä todennäköisyys sille, että saadaan täyskäsi, jossa esiintyy kolme kuutosta ja kaksi viitosta. (3 p.)

2. Määritä todennäköisyys sille, että saadaan täyskäsi. (6 p.)

3. Määritä todennäköisyys sille, että saadaan neliluku. (3 p.)

Esim. 2 (yo, m, B7/2020S)

Koripalloilijan vapaaheitot   12 p.

Pitkäaikaisten tilastojen perusteella erään koripalloilijan todennäköisyys heittää pallo vapaaheitolla koriin on \(p\) \((0\le p\le1)\). Rautahermoisena pelaajana hänen heittojensa onnistumistodennäköisyydet ovat riippumattomia aikaisempien heittojen tuloksista ja pelitilanteesta.

Eräässä ottelussa kyseinen pelaaja saa kaksi vapaaheittoa, jotka on heitettävä peräkkäin. Merkitään

\(P(0)=\) todennäköisyys sille, että pelaaja ei saa yhtään heittoa koriin

\(P(1)=\) todennäköisyys sille, että pelaaja saa täsmälleen yhden heiton koriin

\(P(2)=\) todennäköisyys sille, että pelaaja saa kaksi heittoa koriin.

1. Laske \(P(2)\), kun \(p=0{,}82\). (3 p.)

2. Määritä \(P(2)\), \(P(1)\) ja \(P(0)\) todennäköisyyden \(p\) avulla lausuttuina. (6 p.)

3. Millä todennäköisyyden \(p\) arvoilla on \(P(1)=P(2)\)? (3 p.)

Kappaleen alkuun.

---

6.3 Talousmatematiikka

Esim. 1 (yo, m, A1.1-3/2021K)

Lukujonoja ja funktioita   12 p.

Oikea vastaus 2 p., väärä vastaus 0 p., ei vastausta 0 p.

1. Lukujono \((1,2,4,7, \ldots)\) (2 p.)

   voi olla aritmeettinen voi olla geometrinen voi olla sekä aritmeettinen että geometrinen ei voi olla aritmeettinen eikä geometrinen




2. Lukujono \((32,16,8,4, \ldots)\) (2 p.)

   voi olla aritmeettinen voi olla geometrinen voi olla sekä aritmeettinen että geometrinen ei voi olla aritmeettinen eikä geometrinen




3. Lukujono \((7,9,11,13, \ldots)\) (2 p.)

   voi olla aritmeettinen voi olla geometrinen voi olla sekä aritmeettinen että geometrinen ei voi olla aritmeettinen eikä geometrinen

Esim. 2 (yo, m, A1.2-3/2021S)

Sopivia lukuja   12 p.

Valitse oikea vaihtoehto.

1. Mikä on lausekkeen \(1-3x\) arvo,kun \(x=2\)? (3 p.)
   
   -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




2. Jonon \((a_{n})\) yleinen termi on muotoa \(a_{n}=3\cdot2^{n}\), \(n\in \mathbb{N}\). Mikä on termi \(a_{3}\)? (3 p.)
   
   10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30




3. Jono \((b_{n})\) toteuttaa ehdot \(b_{6}=6\) ja \(b_{n+1}=b_{n}+4\), \(n\in\mathbb{N}\). Mikä on termi \(b_{4}\)? (3 p.)
   
   -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10




4. Polynomi \((x^2+5x+1)(x+3)\) kerrotaan auki, jolloin muodostuu kolmannen asteen polynomi. Mikä on sen toisen asteen termin kerroin? (3 p.)
   
   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Kappaleen alkuun.

---

7 VALINNAISET

---

7.1 Vektorit avaruudessa

Esim. 1 (yo, m, B13/2025K)

Vektorien ristitulo   12 p.

Vektorien \(\bar{a}=a_{x}\bar{i}+a_{y}\bar{j}+a_{z}\bar{k}\) ja \(\bar{b}=b_{x}\bar{i}+b_{y}\bar{j}+b_{z}\bar{k}\) ristitulo määritellään lausekkeella $$\bar{a}\times\bar{b}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\bar{i}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\bar{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\bar{k}.$$Todista tätä lauseketta käyttäen seuraavat ristitulovektorin tunnetut ominaisuudet:

1. Se on kohtisuorassa vektoria \(\bar{a}\) vastaan. (3 p.)

2. Sen pituus on sama kuin vektorien \(\bar{a}\) ja \(\bar{b}\) virittämän suunnikkaan ala. (9 p.)

Kappaleen alkuun.

---

7.2 Ääriarvosovelluksia

Esim. 1 (yo, m, B10/2022K)

Veistos   12 p.

10.A Kuva: Funktion kuvaaja

Puistossa sijaitseva veistos on rakennettu käyttäen rautatankoja geometristen muotojen särminä kuvan 10.A mukaisesti. Veistoksen yläosa on pyramidi ja alaosa on suorakulmainen särmiö, jonka pohja on neliön muotoinen. Tiedekeskuksen pihalle on tarkoitus rakentaa vaakasuoralle alustalle samanmallinen veistos, jossa särmiön kehikkoon, jossa särmiön kehikkoon kuuluu myös pohjaneliön sivutangot (kuvassa pohjaneliö ei ole näkyvissä). Uuden rakennelman pitää toteuttaa seuraavat ehdot: rakennelman sisätilavuus on 21 kuutiometriä ja yläosan (pyramidin) korkeus on puolet alaosan korkeudesta. Mikä on tähän rakennelmaan tarvittavan rautatangon pienin mahdollinen kokonaispituus \(L\)?

Tehtävässä oletetaan, että rautatangon koko pituus \(L\) voidaan käyttää rakennelmaan. Liitoksiin käytettävää materiaalia ei tarvitse ottaa huomioon. Anna vastaus metreinä kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Kappaleen alkuun.

---

7.3 Osittaisderivaatta

Esim. 1 (yo, m, B10/2021S)

Osittaisderivaatta   12 p.

10.A Kuva: Funktion kuvaaja

Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota $$f(x,y)=x^{4}+32x+y^{2}-6y+60.$$

1. Laske funktion \(f\) osittaisderivaatat \(f_x\) ja \(f_y\). (4 p.)

2. Oletetaan tunnetuksi, että tämän funktion \(f\) pienin arvo saadaan siinä pisteessä, jossa yhtälöpari $$\begin{cases}f_x=0\\f_y=0\end{cases}$$ toteutuu (ks. kuva 10.A). Määritä funktion \(f\) pienin arvo tätä tietoa käyttämällä. (8 p.)

Huomautus: Osittaisderivaatalle \(f_x\) käytetään myös merkintöjä \(f_{x}', D_{x}f, D_{1}f, \dfrac{\partial f}{\partial x}\) ja \(\partial_{1}f\); vastaavalla tavalla osittaisderivaatalle \(f_y\).

Kappaleen alkuun.

---

7.4 Lukuteoria

Esim. 1 (yo, m, A6/2025K)

Eukleideen algoritmi   12 p.

Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 5322 ja 342 suurin yhteinen tekijä.

RATKAISU

Kappaleen alkuun.

---

7.5 Algoritmit

Esim. 1 (yo, m, B10/2025S)

Eukleideen algoritmi   12 p.

Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 121 110 987 654 321 ja 123 456 789 101 112 suurin yhteinen tekijä. Voit käyttää ohjelmistoa, kunhan algoritmin välivaiheet näkyvät ratkaisussa.

RATKAISU

Kappaleen alkuun.

---

7.6 Analyysi

Esim. 1 (yo, m, B9/2020K)

Käänteisfunktion derivaatta   12 p.

Anna esimerkki funktiosta \(f\), jonka käänteisfunktion derivaatalle pätee \((f^{-1})'(2) =\frac{1}{2}\). Muista perustella, miksi esimerkilläsi on vaadittu ominaisuus.

RATKAISU

Kappaleen alkuun.

---

7.7 Jatkuvat jakaumat

Esim. 1 (yo, m, B10/2025K)

Eksponenttijakauma   12 p.

Eksponenttijakaumaa voi käyttää esimerkiksi hiukkassäteilyn tai asiakasvirtojen mallintamiseen. Jakauman tiheysfunktio (vakiolla \(\lambda\gt0\)) on $$f_{\lambda}(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&\text{kun}\ x\ge0,\\0&\text{muuten}.\end{cases}$$ Satunnaismuuttuja \(X\) noudattaa tätä jakaumaa. Määritä todennäköisyys \(P(X\ge7)\), joka riippuu vakiosta \(\lambda\).

Kappaleen alkuun.