Lausekkeet ja yhtälöt (MAB2)
Laajuus
2 op
Yleiset tavoitteet (LOPS 2021)
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- harjaantuu käyttämään matematiikkaa ongelmien ratkaisemisessa ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä
- oppii muodostamaan lausekkeita ja yhtälöitä annettuihin ongelmiin sekä ratkaisemaan yhtälöitä ja tulkitsemaan saatua ratkaisua
- osaa soveltaa lukujonoja ja niistä muodostettuja summia matemaattisten ongelmien ratkaisussa
- osaa käyttää ohjelmistoja polynomifunktion tutkimisessa polynomiyhtälöihin ja polynomifunktioihin liittyvien sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt (LOPS 2021)
- ongelmien muotoileminen yhtälöiksi
- yhtälöiden ratkaiseminen
- ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen
- toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen
- aritmeettinen lukujono ja summa
- geometrinen lukujono ja summa
Aikataulu
Oppitunnin rakenne
- opetus
- tauko max. 5 min (ma & to) / ruokailu 30 min (ke)
- tehtävien tekeminen (käytössä lisätiloja, mutta oltava opettajan tavoitettavissa)
Suoritus
- osallistuminen
- tehtävien tekeminen
- loppukoe
Arviointi
- opintojakson suorittaminen (arvosana väh. 4) edellyttää vähintään kolmea perustason tehtävää oppikirjan kappaleista 1-15 kustakin opintojakson aikana asianmukaisesti tehtynä (tehtäväpolku liimataan vihkoon)
- tehtävien asianmukainen ja jatkuva tekeminen +2 p, tarkistuskohdat ennen lomaa (+1 p) ja viimeisellä opetuskerralla (+1 p)
- loppukokeesta max. 60 p
- yhteensä max. 60 p (teoreettisesti 62 p)
- 25 % arviointi
| Pisteet | Arvosana | Muuta |
|---|---|---|
| 0 - 7 | i \(\to\) K | Pakko täydentää. |
| 8 - 14 | 4 | Oikeus täydentää. |
| 15 - 22 | 5 | |
| 23 - 31 | 6 | |
| 32 - 40 | 7 | |
| 41 - 49 | 8 | |
| 50 - 57 | 9 | |
| 58 - 60 | 10 |
Keskeyttäminen
Opettaja keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos
- opiskelija niin pyytää
- opiskelija ei ole läsnä opintojakson kahdella ensimmäisellä opetuskerralla ja opiskelija ei ole yhteydessä opettajaan eikä opettaja saa yhteyttä opiskelijaan.
Opettaja voi keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos opiskelijalla on viisi poissaoloa. Tällaiset tilanteet opettaja käy läpi tapauskohtaisesti ja on ennen lopullista keskeytystä yhteydessä opiskelijaan.
Keskeyttämisestä opettaja merkitsee opintojaksosta opiskelijalle K-merkinnän Wilmaan ja poistaa opiskelijan sen jälkeen Wilman ryhmästä. Opettaja lähettää keskeyttämisestä viestin opiskelijalle, alaikäisen opiskelijan huoltajalle, ryhmänohjaajalle ja opolle.
1 POLYNOMIT
1.1 Polynomi
- Polynomi on termien yhteenlasku.
- Termi on kertolasku, joka koostuu kertoimesta ja muuttujaosasta.
- Muuttujan eksponentti on termin asteluku, sen on oltava positiivinen kokonaisluku.
- Polynomin asteluku on korkein polynomin termien asteluvuista.
Esim. 1
Mikä on polynomin \(4x^{3}-5x^{2}+x+8\)
a) termien lukumäärä
b) asteluku?
a) Polynomin termien lukumäärä on \(4\).
b) Polynomin asteluku on \(3\), koska se on polynomin termien asteluvuista korkein.
Esim.2
Taulukoi esimerkin 1 polynomin termit, termien kertoimet ja muuttujaosat sekä termien asteluvut.
| Termi | Kerroin | Muuttujaosa | Asteluku |
|---|---|---|---|
| $$4x^{3}$$ | $$4$$ | $$x^{3}$$ | $$3$$ |
| $$-5x^{2}$$ | $$-5$$ | $$x^{2}$$ | $$2$$ |
| $$x\textcolor{red}{=1\cdot x^{1}}$$ | $$1$$ | $$x$$ | $$1$$ |
| $$8$$ | $$8$$ | $$\text{ei ole}$$ | $$0$$ |
Huom.
Jos muuttujan eksponentti ei ole positiivinen kokonaisluku, kyseessä ei ole enää polynomi.
\(x^{-1}=\left(\frac{1}{x}\right)^1=\frac{1}{x}\) (murtolauseke)
\(x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) (juurilauseke)
Polynomien nimeäminen
| Polynomi | Termien lukumäärä | Nimitys |
|---|---|---|
| $$-5x^{2}$$ | $$1$$ | $$\text{monomi}$$ |
| $$-5x^{2}+8$$ | $$2$$ | $$\text{binomi}$$ |
| $$-5x^2+x+8$$ | $$3$$ | $$\text{trinomi}$$ |
1.2 Polynomien summa ja erotus
- Termit ovat samanmuotoiset, jos niillä on täsmälleen sama muuttujaosa.
- Vain samanmuotoisia termejä voidaan yhdistää eli laskea yhteen tai vähentää toisistaan.
Esim. 1
Laske polynomien \(3x^{2}+2x\) ja \(4x^{2}-5x\)
a) summa
b) erotus
a) Merkitään summa ja sievennetään.
$$ \begin{array}{ll} 3x^{2}+2x+\left(4x^{2}-5x\right)\quad \quad&(1) \\ =3x^{2}+2x+4x^{2}-5x\quad \quad &(2)\\ =\textcolor{red}{3x^{2}+4x^{2}}\textcolor{blue}{+2x-5x}& \\ =7x^{2}-3x&\\ \end{array} $$
\((1)\) Poistetaan sulkeet.
\((2)\) Yhdistetään samanmuotoiset termit.
b) Merkitään erotus ja sievennetään.
$$ \begin{array}{ll} 3x^{2}+2x-\left(4x^{2}-5x\right)\quad \quad&(1)\\ =3x^{2}+2x-4x^{2}+5x\quad \quad&(2)\\ =-x^{2}+7x&\\ \end{array} $$
\((1)\) Poistetaan sulkeet. Vaihdetaan sulkeiden sisällä olevien termien etumerkit.
\((2)\) Yhdistetään samanmuotoiset termit.
Huom.
Geogebralla voidaan sieventää polynomeja komennolla Sievennä().
1.3 Polynomien tulo
Esim. 1
Laske monomien tulo.
a) \(x^3x^5\)
b) \(2x^4\cdot3x^7\)
c) \(3x^{2}\left(-5x\right)\)
a) Samankantaisten potenssien tulossa muuttujien eksponentit lasketaan yhteen.
\( \begin{array}{ll} x^{3}x^5&\mid\ x^{m}x^{n}=x^{m+n}\\ =x^{3+5}&\\ =x^{8} \end{array} \)
b) Kertoimet kerrotaan, muuttujien eksponentit lasketaan yhteen.
\( \begin{array}{ll} 2x^{4}\cdot3x^{7}&\mid\ ab=ba\\ \textcolor{red}{=2\cdot3\cdot x^{4}\cdot x^{7}}\quad &\mid\ x^{m}x^{n}=x^{m+n}\\ \textcolor{red}{=6x^{4+7}}&\\ =6x^{11}&\\ \end{array} \)
c) Kertoimet kerrotaa, muuttujien eksponentit lasketaan yhteen.
\( \begin{array}{ll} 3x^{2}\left(-5x\right)&\mid\ ab=ba\\ \textcolor{red}{=3\cdot (-5)\cdot x^{2}\cdot x}\quad &\mid\ x^{m}x^{n}=x^{m+n}\\ \textcolor{red}{=-15x^{2+1}}&\\ =-15x^{3}&\\ \end{array} \)
Esim. 2
Laske monomin ja binomin tulo.
\(2x\left(4x^{2}-5x\right)\)
Sulkeiden edessä olevalla termillä kerrotaan jokaista sulkeiden sisällä olevaa termiä.
\( \begin{array}{ll} 2x\left(4x^{2}-5x\right)&\mid\ a(b+c)=ab+ac\\ \textcolor{red}{=2x\cdot4x^{2}+2x\cdot\left(-5x\right)}&\\ =8x^{3}-10x^2&\\ \end{array} \)
Esim. 3
Laske polynomien tulo.
\(\left(3x^{2}+2x\right)\left(4x^{2}-5x\right)\)
Ensimmäisen polynomin jokaisella termillä kerrotaan jokaista toisen polynomin termiä.
\( \begin{array}{ll} \left(3x^{2}+2x\right)\left(4x^{2}-5x\right)\\ \textcolor{red}{=3x^{2}\cdot4x^{2}+3x^{2}\cdot(-5x)+2x\cdot4x^{2}+2x\cdot(-5x)}&\\ =12x^{4}-15x^{3}+8x^{3}-10x^{2}&\\ =12x^{4}-7x^{3}-10x^{2}&\\ \end{array} \)
2 YHTÄLÖT (1. ASTE)
2.1 Yhtälö
Yhtälö
Yhtälö muodostuu, kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi.
Esim. 1
Muodosta yhtälö, jossa lukujen \(2\) ja \(x\) tulo on yhtä suuri kuin samojen lukujen summa.
\(\underset{\textcolor{red}{\text{vasen puoli}}}{2x}=\underset{\textcolor{blue}{\text{oikea puoli}}}{2+x}\)
Yhtälön ratkaisu
Yhtälön ratkaisu eli juuri on muuttujan arvo (luku), jolla yhtälön vasemman ja oikean puoleinen lauseke ovat yhtä suuret.
Esim. 2
Tutki, onko luku \(2\) yhtälön \(\displaystyle{3x-1=\frac{6x}{3}+1}\) ratkaisu.
\( \begin{array}{rl} 3\cdot\textcolor{red}{2}-1&=\displaystyle{\frac{6\cdot\textcolor{red}{2}}{3}+1}\\ 6-1&=\displaystyle{\frac{12}{3}+1}\\ 5&=4+1\\ 5&=5 \end{array} \)
Vastaus: Kyllä, luku \(2\) on yhtälön ratkaisu.
Yhtälö ratkaiseminen
Yhtälön ratkaiseminen on toimenpide, jossa selvitetään yhtälön ratkaisu.
Yhtälön ratkaisemiseksi yhtälö muokataan muotoon, jossa yhtälön toisella puolella on vain muuttuja \(x\) ja toisella puolella luku, joka on yhtälön ratkaisu.
Yhtälöä on sallittua muokata lisäämällä yhtälön molemmille puolille sama luku tai vähentämällä molemmilta puolilta sama luku taikka kertomalla tai jakamalla molemmat puolet samalla luvulla.
Näiden toimenpiteiden aikana yhtälön vasen ja oikea puoli säilyttävät yhtäsuuruuden
Esim. 3
Ratkaise yhtälö.
a) \(4x-5=x+7\)
b) \(3-(2x+1)=4(x-1)\)
c) \(\displaystyle{\frac{x}{3}=x+2}\)
d) \(\displaystyle{2+\frac{x+1}{3}=\frac{x}{4}+1}\)
2.2 Polynomifunktio (1. aste)
Funktio on sääntö, joka liittää lukuun toisen luvun. Lukion matematiikan lyhyessä oppimäärässä funktioiden säännöt ovat aina laskutoimituksia.
Esim. 1
Päättele sääntö, joka yhdistää luvun \(x\) lukuun \(y\).
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(0\) | \(3\) |
| \(1\) | \(4\) |
| \(2\) | \(5\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Luku \(y\) saadaan lisäämällä lukuun \(x\) luku \(3\) eli \(y=x+3\).
Funktiomerkintä
$$f(x)=y$$
Esim. 2
Merkintä \(f(2)=5\) tarkoittaa, että muuttujan arvolla \(x=2\) funktio \(f\) saa arvon \(y=5\).
Esim. 3
Merkintä \(f(x)=2x+6\) tarkoittaa, että funktion \(f\) lauseke on \(2x+6\).
Esim. 4
Laske funktion \(f(x)=2x+6\) arvo kohdassa \(x=-1\).
\( \begin{aligned} f(-1)&=2\cdot(-1)+6\\ &=-2+6\\ &=4 \end{aligned} \)
Nollakohta
Funktion nollakohta on muuttujan \(x\) arvo, jolla funktio saa arvon nolla.
Esim. 5
Määritä funktion \(f(x)=2x+6\) nollakohta.
\( \begin{aligned} f(x)&=0\\ 2x+6&=0\\ 2x&=-6 \quad \mid :2\\ x&=-3 \end{aligned} \)
Lineaarinen funktio
Lineaarisen funktion \(f(x)=ax+b\) kuvaaja on
- nouseva suora, jos kerroin \(a\) positiivinen eli \(a\gt0\)
- vaakasuora, jos kerroin \(a\) on nolla eli \(a=0\)
- laskeva suora, jos kerroin \(a\) negatiivinen eli \(a\lt0\).
Huom.
Jos funktion lauseke on muotoa \(ax+b\) kyseessä on ensimmäisen asteen polynomifunktio. Esimerkiksi \(f(x)=2x+6\) ja \(g(x)=-2x+6\) ovat ensimmäisen asteen polynomifunktioita.
Jos funktion lauseke on muotoa \(b\), kyseessä on vakiofunktio. Esimerkiksi \(h(x)=6\) on vakiofunktio.
Esim. 6
Piirrä geometriaohjelmalla funktion \(f(x)=x-1\) kuvaaja. Määritä kuvaajan perusteella
a) funktion \(f\) arvo kohdassa \(x=3\)
b) se muuttujan \(x\) arvo, jolla funktion \(f\) arvo on \(y=-3\)
c) funktion \(f\) nollakohta.
2.3 Sovellustehtäviä
Sanallinen tehtävä
- Lue tehtävänanto rauhassa alusta loppuun.
- Mieti, mitä tehtävässä kysytään.
- Mieti, mitä tietoja tehtävässä on annettu.
- Hahmottele ratkaisua paperille. Toisinaan kannattaa piirtää kuva.
Ongelman ratkaiseminen yhtälön avulla
- Mieti, voiko ongelman muotoilla yhtälöksi.
- Usein kysyttyä asiaa kannattaa merkitä x:llä.
- Muodosta yhtälö tehtävässä annetuista tiedoista ja ratkaise yhtälö.
- Mieti, onko saamasi ratkaisu mielekäs.
- Kirjoita vastaus. Muista tarvittaessa merkitä vastauksen yksikkö!
Esim. 1
Lukion 32 opiskelijan ryhmä varaa laskettelumatkaa varten linja-auton, jonka kustannukset jaetaan tasan osallistujien kesken. Neljä opiskelijaa joutuu perumaan lähtönsä, jolloin jokainen osallistuja maksaa lopulta 15 euroa alkuperäistä hintaa enemmän. Kuinka paljon yhden osallistujan matka lopulta maksoi?
(yo lyhyt s23)
Merkitään kysyttyä lopullista yhden osallistujan matkan hintaa \(x\).
Tällöin alkuperäinen hinta yhdeltä osallistujalta olisi ollut \(x-15\)
Linja-auto maksaa saman verran riippumatta osallistujamäärästä. Saadaan yhtälö:
\(\begin{align} 32(x-15)&=28x \quad \mid \text{CAS-laskin}\\ x&=120 \end{align}\)
Vastaus: Yhden osallistujan matka maksoi lopulta 120 €.
Esim. 2
Esteratsastus on kehittynyt hevosten suorituskyvyn parantuessa, ja hevosten suoriutumista on myös tutkittu kokeellisesti. On selvinnyt, että parhaimman ponnistuskohdan ja esteen välinen etäisyys d saadaan kertomalla esteen korkeus h luvulla 1,3 ja lisäämällä tulokseen 20 cm.
- Mikä on etäisyys d, kun esteen korkeus on 140 cm? (3 p.)
- Kuinka korkean esteen hevonen ja ratsastaja yrittävät ylittää, jos hevosen ponnistuskohdan etäisyys esteeseen on 215 cm? (3 p.)
- Määritä etäisyyden d lauseke esteen korkeuden h funktiona. (3 p.)
- Määritä esteen korkeuden h lauseke etäisyyden d funktiona. (3 p.)
Lasketaan korkeus, kun etäisyys on 140 cm:
\(1{,}3\cdot140+20=202\)
Vastaus: Etäisyys on 202 cm.
Kirjoitetaan yhtälö ja ratkaistaan korkeus:
\(\begin{align}1{,}3h+20&=215 \quad \mid \text{CAS-laskin}\\ h&=150 \end{align}\)
Vastaus: Esteen korkeus on 150 cm.
Muodostetaan etäisyydelle \(d\) funktio:
\(d(h)=1{,}3h+20\)
Vastaus: \(d(h)=1{,}3h+20\).
Kirjoitetaan kohdan 3 funktiosta yhtälö ja ratkaistaan korkeuden \(h\) suhteen.
\(\begin{align}1{,}3h+20&=d \quad \mid \text{CAS-laskin}\\ h&=\dfrac{d-20}{1{,}3} \end{align}\)
Vastaus: \(h(d)=\dfrac{d-20}{1{,}3}\).
2.4 Verrantoyhtälö
Esim. 1
Ratkaise verrantoyhtälö.
a) \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{5}{2}\)
b) \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{x-1}{8}\)
a)
\(\begin{align}\dfrac{x}{6}&=\dfrac{5}{2}\\
\quad \quad 2\cdot x&=6\cdot5\\
2x&=30 \quad \mid :2\\
x&=15\end{align}\)
b)
\(\begin{align}\dfrac{3}{4}&=\dfrac{x-1}{8}\\
\quad \quad 4\cdot(x-1)&=3\cdot8\\
4x-4&=24\\
4x&=24+4\\
4x&=28 \quad \mid :4\\
x&=7\end{align}\)
Esim. 2. Suoraan verrannollinen tehtävä.
Lettuihin tulee jauhoja 150 g ja nestettä 6 dl. Kuinka paljon tarvitaan nestettä, jos jauhoja tulee 500 g?
| jauhoja (g) | nestettä (dl) |
|---|---|
| 150 | 6 |
| 500 | x |
\( \begin{aligned} \frac{150\ \text{g}}{500\ \text{g}}&=\frac{6\ \text{dl}}{x} \quad\quad\quad \mid\ \text{kerrotaan ristiin}\ (x\neq0)\\ 150\cdot x&=500\cdot 6\ \text{dl} \quad\ \mid\ :150\\ x&=\frac{500\cdot 6\ \text{dl}}{150}=20\ \text{dl} \end{aligned} \)
Vastaus: Nestettä tarvitaan \(20\ \text{dl}\).
Esim. 3. Kääntäen verrannollinen tehtävä.
Henkilöauton nopeus on 100 km/h ja pikajunan 180 km/h. Missä ajassa auto kulkee matkan, johon junalta kuluu 1,5 h?
| nopeus (km/h) | aika (h) |
|---|---|
| 100 | x |
| 180 | 1,5 |
\( \begin{aligned} \frac{100\ \text{km/h}}{180\ \text{km/h}}&=\frac{1{,}5\ \text{h}}{x} \quad\quad\ \ \ \mid\ \text{kerrotaan ristiin}\ (x\neq0)\\ 100\cdot x&=180\cdot 1{,}5\ \text{h} \quad \mid\ :100\\ x&=\frac{180\cdot 1{,}5\ \text{h}}{100}=2{,}7\ \text{h} \end{aligned} \)
Muunnetaan tunnin kymmenesosat minuuteiksi \(0{,}7\cdot60\ \text{min}=42\ \text{min}\).
Vastaus: Auto kulkee matkan ajassa \(2\ \text{h}\ 42\ \text{min}\).
3 YHTÄLÖT (2. ASTE)
3.1 Polynomifunktio (2. aste)
Toisen asteen polynomifunktio
Toisen asteen polynomifunktio on muotoa $$f(x)=ax^{2}+bx+c,$$ missä \(a\neq0\).
Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja
Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli.
Jos \(a>0\), niin paraabeli aukeaa ylöspäin ja huipun y-koordinaatti on samalla funktion pienin arvo.
Jos \(a<0\), niin paraabeli aukeaa alaspäin ja huipun y-koordinaatti on samalla funktion suurin arvo.
Vakiotermi \(c\) ilmaisee y-akselin leikkauskohdan.
Esim. 1
Piirrä funktion \(f(x)=x^2-8x+7\) kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla
a) funktion arvot \(f(2)\) ja \(f(8)\)
b) paraabelin huipun koordinaatit
c) funktion \(f\) nollakohdat.
Esim. 2
Laske funktion \(f(x)=x^2-8x+7\) arvo kohdassa \(x=-1\).
3.2 Vaillinainen 2. asteen yhtälö
Vaillinainen toisen asteen polynomiyhtälö
Yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon $$ax^{2}+c=0,$$ kutsutaan vaillinaiseksi toisen asteen polynomiyhtälöksi.
Tällainen yhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se potenssiyhtälöksi ja ottamalla puolittain neliöjuuri.
Esim. 1
Ratkaise yhtälö \(3x^{2}-27=0\).
\( \begin{align} 3x^{2}-27&=0&&\mid+27\\ 3x^{2}&=27&&\mid\;:3\\ x^{2}&=9&&\mid\sqrt{\ }\\ x&=\pm3\\ \end{align} \)
Vastaus: \(x=-3\) tai \(x=3\)
3.3 Täydellinen 2. asteen yhtälö
Täydellinen toisen asteen polynomiyhtälö
Yhtälöä, joka voidaan kirjoitaa muotoon $$ax^{2}+bx+c=0,$$ kutsutaan täydelliseksi toisen asteen polynomiyhtälöksi.
Tällainen yhtälö ratkaistaan ratkaisukaavalla $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$$ missä \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat edellä mainitun täydellisen toisen asteen polynomiyhtälön termien kertoimet.
Esim. 1
Ratkaise yhtälöt.
a) \(-3x^{2}+5x+2=0\)
b) \(6x^{2}-x=4x^{2}+1\)
a) Vastaus: \(x=-\frac{1}{3}\) tai \(x=2\)
b) Vastaus: \(x=-\frac{1}{2}\) tai \(x=1\)
Huom.
Toisen asteen yhtälöllä voi olla 0, 1 tai 2 ratkaisua.
Esim. 2
Ratkaise yhtälöt.
a) \(x^{2}+1=-2x\)
b) \(x(2x+1)=-1\)
a) Vastaus: \(x=-1\)
b) Vastaus: Ei ratkaisua.
3.4 Sovellustehtäviä
Oppitunnilla tutustutaan toisen asteen yhtälön sovellustehtäviin oppikirjan tehtävien 9.1, 9.2, 9.8 ja 9.17 avulla.
4 LUKUJONOT
4.1 Lukujono
Lukujono on järjestetty kokoelma lukuja. Sama luku voi esiintyä jonossa määräämättömän monta kertaa.
Esim. 1
Lukujonot \(1,2,3,4\) ja \(4,3,2,1\) eivät ole sama lukujono, koska jonojen jäsenten järjestys ei ole sama.
Lukujono voi olla päättyvä, jolloin jonon jäsenten määrä on äärellinen, tai päättymätön, jolloin taas jonon jäsenten määrä on ääretön.
Esim. 2
Lukujono \(1,3,5,7\) on päättyvä.
Lukujono \(1,3,5,\ldots\) on päättymätön.
Merkintöjä
Lukujono merkitään \((a_{n})\).
Jonon jäseniä merkitään \(a_{1},a_{2},a_{3},\dots\) . Indeksointi alkaa yleensä ykkösestä.
Jonon \(n\):s eli yleinen jäsen merkitään \(a_n\). Merkinnällä voidaan viitata myös \(n\):nnen jäsenen lausekkeeseen.
Lukujono voidaan määritellä antamalla jonon \(n\):nnen jäsenen lauseke
Esim. 3
Olkoon lukujono \((a_{n})\), missä \(n\):nnen jäsenen lauseke on \(a_{n}=n^{2}+1\) ja \(n=1,2,3,\ldots\) .
a) Määritä jonon kolme ensimmäistä jäsentä.
b) Määritä jonon sadas jäsen.
c) Onko luku \(145\) jonon jäsen? Jos on, monesko jäsen se on?
a) Jonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat:
\(a_{1}=1^{2}+1=2\)
\(a_{2}=2^{2}+1=5\)
\(a_{3}=3^{2}+1=10\)
b) Jonon sadas jäsen on:
\(a_{100}=100^{2}+1=10\ 001\)
c) Luku \(145\) on jonon jäsen, jos on olemassa positiivinen kokonaisluku \(n\), jolla \(a_{n}=n^{2}+1=145\).
Ratkaistaan yhtälö \(n^{2}+1=145\) tuntemattoman \(n\) suhteen:
$$\begin{align}n^{2}+1&=145\quad\mid\ -1\\n^{2}&=144 \quad\mid\ \sqrt{\ }\\n=\pm12\end{align}$$
Luvun \(n\) on oltava positiivinen kokonaisluku. Siis \(n=12\).
Vastaus: Luku \(145\) on jonon \(12.\) jäsen.
Jonon jäsenten yhteenlaskua kutsutaan nimellä summa. Pitkiä summalausekkeita voidaan lyhentää summamerkinnän avulla.
Summamerkintä
$$\sum_{n=1}^{k}(a_{n})=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{k}$$
Merkintä luetaan ''summa \(n\) käy yhdestä \(k\):hon''.
Merkintä tarkoittaa, että lasketaan yhteen jonon \(a_{n}\) jäseniä. Summamerkin alapuolelta luetaan, mistä jäsenestä aloitetaan, ja yläpuolelta, mihin lopetetaan.
Esim. 4
Tulkitse summamerkintä.
a) \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{10}(n)}\)
b) \(\displaystyle{\sum_{n=2}^{5}(7n)}\)
a) \(\displaystyle{\sum_{n=1}^{10}(n)}=1+2+3+\ldots+10\)
b) \(\displaystyle{\sum_{n=2}^{5}(7n)}=7\cdot2+7\cdot3+7\cdot4+7\cdot5\)
Huom.
GeoGebralla voidaan laskea summia komennolla summa(lauseke, muuttuja, alkuarvo, loppuarvo).
Esim. 5
Olkoon jono \(a_{n}=5n-2\).
Laske GeoGebralla
a) jonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa
b) \(\displaystyle{\sum_{k=5}^{30}(a_{n})}\).
4.2 Aritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono on jono, jonka seuraava jäsen saadaan edellisestä lisäämällä aina sama luku.
Esim. 1
\(1\overset{\overset{+3}{\curvearrowright}}{,\ \ 4}\overset{\overset{+3}{\curvearrowright}}{,\ \ 7}\overset{\overset{+3}{\curvearrowright}}{,\ 10},\ldots\) .
Määritelmä
Lukujono on aritmeettinen, jos sen peräkkäisten jäsenten erotus on vakio
$$d=a_{n}-a_{n-1} .$$ Vakiota \(d\) kutsutaan lukujonon erotusluvuksi.
Esim. 2
Olkoon lukujono \((a_{n})=1,3,5,7,\ldots\) . Voiko lukujono olla aritmeettinen?
Määritetään peräkkäisten jäsenten erotukset.
\(3-1=2\)
\(5-3=2\)
\(7-5=2\)
\(\qquad\ \vdots\)
Vastaus: Koska erotusluku on aina 2, lukujono voi olla aritmeettinen.
Esim. 3
Aritmeettinen lukujono alkaa \(3,8,\ldots\) .
a) Määritä erotusluku.
b) Määritä taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä sekä 15. jäsen.
a) \(d=8-3=5\)
b) Taulukkolaskentaohjelman käyttö näytetään oppitunnilla.
4.3 Geometrinen lukujono
Geometrinen lukujono on jono, jonka seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla aina samalla luvulla.
Esim. 1
\(1\overset{\overset{\cdot3}{\curvearrowright}}{,\ \ 3}\overset{\overset{\cdot3}{\curvearrowright}}{,\ \ 9}\overset{\overset{\cdot3}{\curvearrowright}}{,\ 27},\ldots\) .
Määritelmä
Lukujono on geometrinen, jos sen peräkkäisten jäsenten osamäärä eli suhde on vakio
$$q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}} .$$ Vakiota \(q\) kutsutaan lukujonon suhdeluvuksi.
Huom.
Erityistapaus, jossa \(a_{1}\) on mikä tahansa reaaliluku, voi olla myös nolla, ja \(q=0\), tuottaa jonon \(a_{1},0,0,\ldots\) .
Esim. 2
Olkoon lukujono \((a_{n})=5,10,20,40,\ldots\) . Voiko lukujono olla geometrinen?
Määritetään peräkkäisten jäsenten suhteet eli jakolaskut.
\(\frac{10}{5}=2\)
\(\frac{20}{10}=2\)
\(\frac{40}{20}=2\)
\(\quad\ \ \vdots\)
Vastaus: Koska suhdeluku on aina 2, lukujono voi olla geometrinen.
Esim. 3
Geometrinen lukujono alkaa \(-2,-8,\ldots\) .
a) Määritä suhdeluku \(q\).
b) Määritä taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon viisi ensimmäistä jäsentä sekä 12. jäsen.
a) \(q=\frac{-8}{-2}=4\)
b) Taulukkolaskentaohjelman käyttö näytetään oppitunnilla.
Huom.
Jos lukujono voidaan määritellä siten, että ilmoitetaan ensimmäinen jäsen sekä kaava, jolla muut jäsenet lasketaan edellisestä, on lukujono rekursiivinen. Aritmeettiset ja geometriset lukujonot ovat rekursiivisia lukujonoja.
Esim. 4
Onko rekursiivisesti määritelty lukujono aritmeettinen vai geometrinen? Määritä taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa.
a) \(\begin{cases} a_1=3&\\ a_n=a_{n-1}+6,&\text{kun}\ n=2,3,4,\dots \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} a_1=4&\\ a_n=3\cdot a_{n-1},&\text{kun}\ n=2,3,4,\dots \end{cases}\)
a) Seuraava jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen aina luku 6. Lukujono on siis aritmeettinen. Taulukkolaskentaohjelman käyttö näytetään oppitunnilla.
b) Seuraava jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen aina luvulla 3. Lukujono on siis aritmeettinen. Taulukkolaskentaohjelman käyttö näytetään oppitunnilla.
4.4 Aritmeettisen jonon lauseke
Esim. 1
Tarkastellaan aritmeettista lukujonoa \(1, 7, 13, 19, \ldots\).
Lukujonon erotusluku on \(6\).
Lukujonon jäsenet voidaan muodostaa seuraavasti:
\( \begin{alignat}{2} a_1&=1&&\\ a_2&=1+6&=1+1\cdot6&=7\ \ \\ a_3&=1+6+6&=1+2\cdot6&=13\\ a_4&=1+6+6+6&=1+3\cdot6&=19\\ \vdots&&\\ \end{alignat} \)
Aritmeettisen lukujonon jäsenet saadaan ensimmäisestä jäsenestä lisäämällä siihen erotusluvun \(d\) monikerta.
Aritmeettisen lukujonon yleisen (\(n\):nnen) jäsenen lauseke
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d .$$
Esim. 2
Aritmeettinen lukujono alkaa \(38,34,30,\ldots\) .
a) Mikä on jonon erotusluku \(d\)?
b) Määritä jonon kymmenes jäsen.
c) Muodosta jonon yleisen jäsenen lauseke.
a) Erotusluku on \(d=34-38=-4\).
Vastaus: \(d=-4\)
b) Jonon kymmenes jäsen on
\(a_{10}=38+9\cdot(-4)=38-36=2\).
Vastaus: \(a_{10}=2\)
c) Jonon yleisen jäsenen lauseke on
\(\begin{align} a_{n}&=a_{1}+(n-1)d\qquad\ \mid \text{sij.}\ a_{1}=38\ \text{ja}\ d=-4\\ &=38+(n-1)\cdot(-4)\\ &=38-4n+4\\ &=42-4n. \end{align}\)
Vastaus: \(a_{n}=42-4n\)
4.5 Aritmeettinen summa
Aritmeettinen summa on aritmeettisen lukujonon peräkkäisten jäsenten yhteenlaskun tulos.
Esim. 1
Aritmeettisen lukujonon \(1,4,7,10, \ldots\) neljän ensimmäisen jäsenen summa on \(1+4+7+10=22\).
Merkintä
Aritmeettisen lukujonon \(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots\) \(n\):n ensimmäisen jäsenen summa merkitään $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n} .$$
Aritmeettisen lukujonon \(n\):n peräkkäisen jäsenen summa voidaan laskea luvun \(n\) sekä ensimmäisen ja viimeisen huomioitavan jäsenen keskiarvon tulona.
Aritmeettisen summan laskukaava
$$S_{n}=n\cdot\frac{a_{1}+a_{n}}{2}$$
Esim. 2
Laske lukujonon \(1,4,7,10, \ldots\) sadan ensimmäisen jäsenen summa.
Esim. 3
Laske aritmeettinen summa \(23+26+29+\ldots+122\).
4.6 Geometrisen jonon lauseke
Esim. 1
Tarkastellaan geometrista lukujonoa \(2, 6, 18, 54, \ldots\).
Lukujonon suhdeluku on \(3\).
Lukujonon jäsenet voidaan muodostaa seuraavasti:
\( \begin{alignat}{2} a_1&=2&&\\ a_2&=2\cdot3&=2\cdot3^{1}&=6\ \ \\ a_3&=2\cdot3\cdot3&=2\cdot3^{2}&=18\\ a_4&=2\cdot3\cdot3\cdot3&=2\cdot3^{3}&=54\\ \vdots&&\\ \end{alignat} \)
Geometrisen lukujonon jäsenet saadaan ensimmäisestä jäsenestä kertomalla se suhdeluvun \(q\) potenssilla.
Geometrisen lukujonon yleisen (\(n\):nnen) jäsenen lauseke
$$a_{n}=a_{1}q^{n-1} .$$
Esim. 3
Olkoon geometrinen lukujono \((a_{n})=2,8,32,\ldots\) .
a) Määritä jonon yleisen jäsenen lauseke
b) Laske jonon \(10.\) jäsen.
a) Määritetään suhdeluku \(q\):
\(q=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{8}{2}=4\)
Määritetään jonon yleinen jäsen:
\(\begin{align} a_{n}&=a_{1}q^{n-1}\qquad\ \ \mid\ \text{sij.}\ a_{1}=2\ \text{ja}\ q=4\\ &=2\cdot4^{n-1}\qquad\ \mid\ 4=2^2\\ &=2\cdot(2^2)^{n-1}\quad\mid\ (a^m)^n=a^{m\cdot n}\\ &=2\cdot 2^{2n-2}\quad\ \ \ \ \mid\ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\ &=2^{2n-1}\end{align}\)
Vastaus: Yleisen jäsenen lauseke on \(a_{n}=2^{2n-1}\).
b) Jonon \(10.\) jäsen:
\(a_{10}=2^{2\cdot10-1}=2^{19}=524\ 288\)
Vastaus: \(a_{10}=524\ 288\).
4.7 Geometrinen summa
Geometrinen summa on geometrisen lukujonon peräkkäisten jäsenten yhteenlaskun tulos.
Esim. 1
Geometrisen lukujonon \(1,3,9,27,\ldots\) neljän ensimmäisen jäsenen summa on \(S_{4}=1+3+9+27=40\).
Merkintä
Geometrisen lukujonon \(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots\) \(n\):n ensimmäisen jäsenen summa merkitään $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}.$$
Geometrisen summan laskukaava
$$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q},$$ jos suhdeluku \(q\neq1\) ja $$S_n=na_1,$$ jos suhdeluku \(q=1\).
Esim. 2
Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on \(1\) ja suhdeluku \(3\).
Laske
a) \(S_{12}\)
b) \(\displaystyle{\sum_{n=4}^{9}a_{n}}\)
Esim. 3
Geometrinen lukujono alkaa \(1,3,9,27,\ldots\). Kuinka monta jonon jäsentä alusta lukien on laskettava yhteen, jotta summa ylittää arvon \(5\ 000\).