Talousmatematiikan alkeet (MAB6)
Laajuus
1 op
Yleiset tavoitteet (LOPS 2021)
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- hallitsee talousmatematiikan peruskäsitteet ja -taidot
- syventää prosenttilaskennan taitojaan
- oppii kuvaamaan talouselämän asioiden kehittymistä
- osaa käyttää tietolähteitä ja ohjelmistoja laskelmien tekemisessä sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt (LOPS 2021)
- suhteellinen osuus, vertailu, muutoksen laskeminen
- indeksi
- korkokäsite, yksinkertainen korko
- verotus
- valuutat
Aikataulu
Suoritus
- osallistuminen
- tehtävien tekeminen
- monivalintatehtävien tekeminen
- loppukoe
Arviointi
- säännöllinen, aktiivinen ja vastuullinen osallistuminen +1 p
- tehtävien asianmukainen ja jatkuva tekeminen +1 p
- monivalintatehtävistä +1 p kustakin tehdystä monivalintakokonaisuudesta, saavutettava tavoitetaso 80 %, yht. max. 3 p
- loppukokeesta max. 36 p
- max. 40 p (teoreettisesti 41 p)
- 30 % arviointi
| Pisteet | Arvosana | Muuta |
|---|---|---|
| 0 - 6 | i \(\rightarrow\) K | Pakko täydentää. |
| 7 - 11 | i \(\rightarrow\) 4 | Oikeus täydentää. |
| 12 - 17 | 5 | |
| 18 - 23 | 6 | |
| 24 - 29 | 7 | |
| 30 - 35 | 8 | |
| 36 - 38 | 9 | |
| 39 - 40 | 10 |
Keskeyttäminen
Opettaja keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos
- opiskelija niin pyytää
- opiskelija ei ole läsnä opintojakson kahdella ensimmäisellä opetuskerralla ja opiskelija ei ole yhteydessä opettajaan eikä opettaja saa yhteyttä opiskelijaan.
Opettaja voi keskeyttää opiskelijan opintojakson, jos opiskelijalla on viisi poissaoloa. Tällaiset tilanteet opettaja käy läpi tapauskohtaisesti ja on ennen lopullista keskeytystä yhteydessä opiskelijaan.
Keskeyttämisestä opettaja merkitsee opintojaksosta opiskelijalle K-merkinnän Wilmaan ja poistaa opiskelijan sen jälkeen Wilman ryhmästä. Opettaja lähettää keskeyttämisestä viestin opiskelijalle, alaikäisen opiskelijan huoltajalle, ryhmänohjaajalle ja opolle.
1 PROSENTTILASKENTA
1.1 Prosentti
Prosentti
Yksi prosentti tarkoittaa yhtä sadasosaa:
$$1\ \%=\frac{1}{100}=0{,}01$$
Prosenttiluvun laskeminen
"Kuinka monta prosenttia luku \(x\) on luvusta \(y\)?"
Esim. 1
Koripallon alkuperäinen hinta oli 40 euroa. Tarjouksessa se maksoi 8 euroa vähemmän. Kuinka monta prosenttia alennus oli alkuperäisestä hinnasta?
Ratkaisu:
\(\displaystyle{\frac{8\ \unicode{0x20AC}}{40\ \unicode{0x20AC}}}\cdot100\ \%=0{,}2\cdot100\ \%=20\ \%\)
Vastaus: Alennus oli \(20\ \%\) alkuperäisestä hinnasta.
Prosenttiarvon laskeminen
"Kuinka paljon on \(p\ \%\) luvusta \(y\)?"
Esim. 2
Lindan kuukausipalkka on 3 200 euroa. Hänen verokortissaan määritelty ennakonpidätysprosentti on 20 %. Kuinka paljon ennakonpidätys on euroina?
Ratkaisu:
\(20\ \%=0{,}2\)
\(0{,}2\cdot 3\ 200\ \unicode{0x20AC}=640\ \unicode{0x20AC}\)
Vastaus: Ennakonpidätys on \(640\ \unicode{0x20AC}\).
1.2 Muutos- ja vertailuprosentti
Muutosprosentti
$$\text{muutosprosentti}=\frac{\text{muutos}}{\text{alkuperäinen arvo}}\cdot 100\ \%$$
Esim. 1
Bensiinin litrahinta nousi 1,94 eurosta 2,02 euroon. Kuinka monta prosenttia hinta nousi?
Ratkaisu:
$$\frac{2{,}02\ \unicode{0x20AC}-1{,}94\ \unicode{0x20AC}}{1{,}94\ \unicode{0x20AC}}=\frac{0{,}08\ \unicode{0x20AC}}{1{,}94\ \unicode{0x20AC}}=0{,}04123\approx0{,}041=4{,}1\ \%$$
Vastaus: Bensiinin hinta nousi \(4{,}1\ \%\).
Vertailuprosentti
$$\text{vertailuprosentti}=\frac{\text{erotus}}{\text{vertailuarvo}}\cdot 100\ \%$$
Esim.
Manute Bol ja Tyrone Bogues ovat molemmat entisiä NBA-pelaajia. Bol on 231 cm pitkä ja Bogues 160 cm.
a) Kuinka monta prosenttia Bol on pidempi kuin Bogues?
b) Kuinka monta prosenttia Bogues on lyhyempi kuin Bol?
Ratkaisu:
a) Vertailuarvona Boguesin pituus:
$$\frac{231-160}{160}=\frac{71}{160}\approx0{,}44=44\ \%$$
Vastaus: Bol on \(44\ \%\) pidempi.
b) Vertailuarvona Bolin pituus:
$$\frac{231-160}{231}=\frac{71}{231}\approx0{,}31=31\ \%$$
Vastaus: Bogues on \(31\ \%\) lyhyempi.
1.3 Muuttuva arvo
Esim. 1
Kuinka moninkertaiseksi tuotteen hinta muuttuu alkuperäiseen hintaan verrattuna, jos hintaa
a) nostetaan 100 %
b) nostetaan 200 %
c) nostetaan 50 %
d) lasketaan 50 %
Ratkaisu:
a) \(100\ \%+100\ \%=200\ \%=2\)
Vastaus: Kaksinkertaiseksi.
b) \(100\ \%+200\ \%=300\ \%=3\)
Vastaus: Kolminkertaiseksi.
c) \(100\ \%+50\ \%=150\ \%=1{,}5\)
Vastaus: 1,5- eli puolitoistakertaiseksi.
d) \(100\ \%-50\ \%=50\ \%=0{,}5\)
Vastaus: 0,5-kertaiseksi eli hinta puolittuu.
Esim. 2
Koripallo maksaa 75 euroa. Sen hintaa nostetaan 5 %. Laske uusi hinta.
Ratkaisu:
\(100\ \%+5\ \%=105\ \%=1{,}05\)
\(1{,}05\cdot 75\ \unicode{0x20AC}=78{,}75\ \unicode{0x20AC}\)
Vastaus: Uusi hinta on \(78{,}75\ \unicode{0x20AC}\).
Esim. 3
120 euron tennismaila myydään 15 prosentin alennuksella. Laske alennettu hinta.
Ratkaisu:
\(100\ \%-15\ \%=85\ \%=0{,}85\)
\(0{,}85\cdot 120\ \unicode{0x20AC}=102\ \unicode{0x20AC}\)
Vastaus: Alennettu hinta on \(102\ \unicode{0x20AC}\).
1.4 Perusarvon laskeminen
"Mikä on luku \(y\), jos \(p\ \%\) luvusta \(y\) on luku \(x\)"?
Esim. 1
Liuos sisältää 15 prosenttia painostaan suolaa. Kuinka paljon liuosta on, kun siinä on 90 g suolaa?
Ratkaisu:
\(15\ \%=0{,}15\)
\( \begin{aligned} 0{,}15\cdot x&=90\ \text{g}\\ x&=\frac{90\ \text{g}}{0{,}15}=600\ \text{g} \end{aligned} \)
Vastaus: Liuosta on \(600\ \text{g}\).
Esim. 2
Ostaessasi auton osamaksulla, joudut maksamaan 20 prosenttia auton hinnasta käsirahana. Mitä auto maksaa, jos maksettavaa jää 13 600 euroa?
Ratkaisu:
\(100\ \% - 20\ \% =80\ \%=0{,}8\)
\( \begin{aligned} 0{,}8\cdot x&=13\ 600\ \unicode{0x20AC}\\ x&=\frac{13\ 600\ \unicode{0x20AC}}{0{,}8}=17\ 000\ \unicode{0x20AC} \end{aligned} \)
Vastaus: Auto maksaa \(17\ 000\ \unicode{0x20AC}\).
1.5 Perusarvosovelluksia
Esim. 1
Hallitus nosti syksyllä 2024 liikuntapalvelujen arvonlisäveron 10 prosentista 14 prosenttiin. Kuinka monta prosenttia liikuntapalveluista maksettava vero nousi?
Ratkaisu:
Merkitään liikuntapalvelun hintaa yleisesti muuttujalla \(a\).
Vanha veron määrä: \(0{,}1a\)
Uusi veron määrä: \(0{,}14a\)
Muutosprosentti:
\(\displaystyle{\frac{0{,}14a-0{,}1a}{0{,}1a}}=\displaystyle{\frac{0{,}04\cancel{a}}{0{,}1\cancel{a}}}=0{,}4=40\ \%\)
Vastaus: Veron määrä nousisi \(40\ \%\).
Esim. 2
Tuotteen hinta nousi ensin 10 % ja sitten 20 %. Kuinka monta prosenttia hinta nousi yhteensä?
Ratkaisu:
Merkitään tuotteen alkuperäistä hintaa \(a\).
Hinta 1. korotuksen jälkeen:
\(100\ \%+10\ \%=110\ \%=1{,}1\)
\(1{,}1a\)
Hinta 2. korotuksen jälkeen:
\(100\ \%+20\ \%=120\ \%=1{,}2\)
\(1{,}2\cdot 1{,}1a=1{,}32a\)
Muutosprosentti:
$$\frac{1{,}32a-a}{a}=\frac{0{,}32\cancel{a}}{\cancel{a}}=0{,}32=32\ \%$$
Vastaus: Hinta nousi yhteensä \(32\ \%\).
2 RAHA
2.1 Indeksit
Indeksi
''Indeksi on suhdeluku, joka kuvaa jonkin muuttujan (esimerkiksi hinnan, määrän tai arvon) suhteellista muutosta perusjakson (esimerkiksi vuoden) suhteen. Kunkin ajankohdan indeksipisteluku ilmoittaa, kuinka monta prosenttia kyseisen ajankohdan tarkasteltava muuttuja on perusjakson hinnasta, määrästä tai arvosta. Perusjakson indeksipistelukujen keskiarvo on 100.''
Lähde: Tilastokeskus, stat.fi, haettu 12.2.2025.
Eri indeksejä:
- kuluttajahintaindeksi (kotitalouksien Suomessa ostamien tavaroiden ja palveluiden hintakehitys)
- elinkustannusindeksi (vuokrat, niin asuin- ja liikehuoneistojen kuin maanvuokratkin, on sidottu yleensä elinkustannusindeksiin)
- ansiotasoindeksi (kokoaikaisten palkansaajien säännöllisen työajan keskiansioiden kehitys)
Inflaatio
Inflaatio on rahan ostovoiman heikkenemistä. Yleisen hintatason noustessa samalla rahalla saa vähemmän. Inflaation mittarina käytetään kuluttajahintaindeksiä.
Oppitunnilla käydään oppikirjan esimerkit E3, E1 ja E2 tässä järjestyksessä.
2.2 Valuutat
Esim. 1
Vastaa oheisen taulukon avulla.
Valuuttakurssit
| Ruotsin kruunu | SEK | 11,2815 |
| Yhdysvaltain dollari | USD | 1,039 |
| Kanadan dollari | CAD | 1,4844 |
| Japanin jeni | JPY | 159,79 |
Lähde: Suomen pankki, suomenpankki.fi, haettu 13.2.2025.
a) Kuinka paljon Ruotsin kruunuja saisi 50 eurolla?
b) Kuinka paljon euroina on 75 Yhdysvaltain dollaria?
c) Määritä Kanadan dollarin arvo Japanin jeneinä.
2.3 Verotus
Ansiotulon verotus
Ansiotuloa ovat muun muassa:
- palkkatulo
- eläketulo
- veronalaiset sosiaalietuudet (esim. opintoraha)
Erilaisia ansiotuloihin (erityisesti palkkatuloihin) kohdistuvia veroja ja veron luonteisia maksuja ovat:
- Valtion tulovero
- Yleisradiovero
- Kunnallisvero
- Kirkollisvero
- Työttömyys- ja eläketurvamaksut
- Sairausvakuutusmaksut
- Ammattiyhdistyksen jäsenmaksut
Käsitteitä:
- Veroennakko
- Ennakonpidätys
- Verovähennys
- Jäännösvero
- Veronpalautus
Esim. 1
Aarnen bruttopalkka on 2500 euroa kuussa. Hänen ennakonpidätysprosenttinsa on 10,0 % ja pakolliset työttymyys- ja eläketurvamaksunsa ovat 7,74 %. Laske Aarnen kuukausittainen
a) ennakonpidätyksen määrä
b) työttömyys- ja eläketurvamaksun suuruus
c) nettopalkka.
Valtionverotuksessa ansiotulot verotetaan progressiivisen asteikon mukaan. Progressiivisuus tarkoittaa, että tulojen noustessa myös veroprosentti nousee.
Ansiotulojen verotuksesta Verohallinnon sivuilla.
Esim. 2
Ekin valtionverotuksessa verotettavat palkkatulot ovat 35 000 euroa vuodessa. Laske Ekin valtiolle suoritettavan ansiotuloveron määrä (ks. taulukko yllä olevan linkin kautta).
Huom.
Valtionverotuksessa verotettava ansiotulo tarkoittaa summaa, jossa bruttotulosta on vähennetty suoraan tuloihin kohdistuvat verovähennykset (esim. tulonhankkimisvähennykset, ammattiyhdistysten jäsenmaksut), sairausvakuutuksen päivärahamaksu sekä työttömyys- ja eläketurvamaksut.
Kunnallis- ja kirkollisverotuksessa ansiotulot verotetaan kunnallis- ja kirkollisveroprosenttien mukaisesti.
Kunnallisveroprosentit Verohallinnon sivuilla.
Esim. 3
Siinan kunnallisverotuksessa verotettavat palkkatulot ovat 32 000 euroa vuodessa. Laske Celsiuksen kunnallisveron määrä, kun Siinan kotikunta on Kuopio.
Huom.
Kunnallisverotuksessa verotettava ansiotulo saadaan, kun valtionverotuksessa verotettavasta ansiotulosta vähennetään opintoraha-/ansiotulovähennys sekä mahdollinen perusvähennys.
Arvonlisävero
"Arvonlisävero (alv) on kulutusvero, jota maksetaan lähes kaikista tavaroista ja palveluista. Kun yritys myy tavaraa tai palvelua, se lisää laskuttamansa tavaran tai palvelun myyntihintaan arvonlisäveron. Käytännössä arvonlisäveron maksaa siis kuluttaja osana tuotteen tai palvelun hintaa." (Lähde: vero.fi, haettu 15.4.2025.)
Yleinen arvonlisäverokanta vuonna 2025 on 25,5 %.
Esim. 4
a) Tuotteen veroton hinta on 40 euroa. Laske verollinen hinta.
b) Tuotteen verollinen hinta on 59 euroa. Laske veroton hinta.
2.4 Korko
Korko on toisaalta pankin talletuksesta maksama korvaus ja toisaalta pankin lainasta perimä hinta.
Sanastoa
Pääoma = talletussumma.
Korkoprosentti eli korkokanta = pääomasta korkojaksolta kertyvä prosenttiosuus. Ellei toisin mainita korkojakso on yksi vuosi, jolloin voidaan käyttää myös nimitystä vuosikorko.
Lähdevero = pankin korkotulosta automaattisesti vähentämä ja valtiolle tilittämä vero. Lähdevero on 30 % korkotulosta ja se pyöristetään alaspäin lähimpään 10 senttiin.
Nettokorko eli todellinen korko = korko, josta on vähennetty tallettamiseen liittyvät kustannukset, kuten esimerkiksi tilinhoitomaksu ja lähdevero.
Nimelliskorko = inflaation vaikutusta ei ole huomioitu.
Reaalikorko = inflaation vaikutus on huomioitu.
Esim. 1
Vuoden alussa talletetaan 800 euroa tilille, jonka vuosikorko on 3,1 %.
Laske
a) koron määrä
b) rahan määrä tilillä koron maksun ja lähdeveron pidätyksen jälkeen.
a) Koron määrä:
\(3{,}1\ \%=0{,}031\)
\(0{,}031\cdot800=24{,}80\)
Vastaus: 24,80 euroa.
b) Lähdevero:
\(30\ \%=0{,}3\)
\(0{,}3\cdot24{,}80=7{,}44\approx7{,}40\) Huom. Lähdeveron pyöristys.
Rahan määrä tilillä:
\(800+24{,}80-7{,}40=817{,}40\)
Vastaus: 817,40 euroa.
Esim. 2
Laske esimerkin 1 tilanteen
a) nettokorkokanta
b) reaalikorkokanta, kun inflaatio on 0,7 %.
a) Nettokorkokanta (huomioi lähdeveron pidätyksen vaikutuksen):
Lähdevero on \(30\ \%\).
Jäljelle jäävä koron osuus on siten
\(100\ \%-30\ \%=70\ \%=0{,}7\).
Nettokorkokanta on siis
\(0{,}7\cdot0{,}031=0{,}0217=2{,}17\ \%\)
Vastaus: 2,17 %.
b) Reaalikorkokanta (huomioi inflaation vaikutuksen):
Nettokorkokerroin on
\(100\ \%+2{,}17\ \%=102{,}17\ \%=1{,}0217\).
Inflaatiokerroin on
\(100\ \%+0{,}7\ \%=100{,}7\ \%=1{,}007\).
Reaalikorkokerroin on tällöin
\(\displaystyle{\frac{1{,}0217}{1{,}007}}=1{,}01459\ldots\approx1{,}0146\)
ja reaalikorkanta
\(0{,}0146=1{,}46\ \%\).
Vastaus: 1,46 %.
2.5 Yksinkertainen korko
Vuotta lyhyemmältä ajalta korko lasketaan seuraavasti.
Yksinkertainen korko
Kun korkoaika on lyhyempi tai yhtä pitkä kuin yksi korkojakso, korko \(r\) lasketaan
$$r=kit,$$
missä
- \(k\) on pääoma,
- \(i\) on vuotuinen korkokanta desimaalilukuna ja
- \(t\) on korkoaika vuosina.
Esim. 1
Kuinka paljon 800 euron talletus ehtii kasvaa korkoa kuukaudessa, kun vuosikorko on 3,1 %?
Korkoaika vuosina voidaan laskea eri korkotapoja käyttäen.
Merkitään talletuspäivien lukumäärää \(n\).
| Korkotapa | Päiviä kuukaudessa | Päiviä vuodessa | Aika vuosina |
|---|---|---|---|
| englantilainen | kalenterin mukaan | \(365\ (366)\) | \(t=\frac{n}{365}\ \left(t=\frac{n}{366}\right)\) |
| ranskalainen | kalenterin mukaan | \(360\) | \(t=\frac{n}{360}\) |
| saksalainen | 30 | \(360\) | \(t=\frac{n}{360}\) |
Jos tehtävässä ei muuta mainita, käytetään saksalaista korkotapaa.
Esim. 2
Tuotteen hinta oli 799 euroa ja se maksettiin laskulla 18 päivää eräpäivän jälkeen. Laske lopulliset kustannukset, kun viivästyskorko oli 7,0 % ja huomautuslaskusta perittiin lisäksi 5,00 euroa.